Geometria Plana

(PSACN – 2001) Observe a figura abaixo que representa três semi-circunferências de centros M, N e P, tangentes duas a duas, respectivamente, nos pontos A, B e C.
Os segmentos MM’, NN’, BB’ e PP’ são perpendiculares à reta r.
Se a medida do segmento BB’ é 6 cm, a área do triângulo M’N’P’, em cm2, é igual a

psacn01-01.gif (3002 bytes)

      (A) 9
(B) 10
(C) 12
(D) 18
(E) 36


Vamos chamar o raio do círculo maior (centro N) de R1, o raio do círculo menor (centro P) de R3 e o raio do círculo médio (centro M) de R2.

Primeiramente, vamos desenhar o triângulo que o exercício está pedindo a área (com o contorno verde logo abaixo):

psacn01-02.gif (3524 bytes)

Agora que já temos a visualização do que o exercícios está querendo, devemos visualizar algumas propriedades deste desenho.

Vamos começar com aquela que, se você a viu, tem muita chance de fazer a resolução correta (digo correta me referindo a mais rápida, pois este exercício possui outras soluções mais demoradas).

A propriedade é vista no desenho abaixo:

psacn01-03.gif (3708 bytes)

Os pontos A, M’ e N’ são colineares. Assim como também os pontos C, P’ e N’.

Podemos provar que são colineares vendo que o ângulo MAM’ vale 45° pois AM=MM’ (formando assim um triângulo retângulo isósceles), e o ângulo NAN’ também vale 45° pois AN=NN’. Como os ângulos MAM’ e NAN’ são iguais, os pontos A, M’ e N’ são colineares. O mesmo raciocínio pode ser usado para provar que os pontos C, P’ e N’ são colineares também.

E o triângulo ACN’ é um triângulo inscrito em circunferência passando pelo centro da mesma, ou seja, é retângulo em N’.

Podemos então calcular a área do triângulo N’M’P’ fazendo a metade do produto de M’N’ por N’P’.

Veja que o segmento AN’ é a hipotenusa do triângulo ANN’, que é retângulo isósceles com catetos medindo R2 . Portanto, o segmento AN’ mede , você encontra este valor por pitágoras no triângulo.

Com este mesmo raciocínio, encontramos os comprimentos:

Assim, dá pra deduzir agora os comprimentos dos catetos do triângulo M’N’P.

E agora calcular a área pedida:

(1)

Guardamos esta expressão e vamos tentar encontrar o valor de cada fator dela.

Note que o diâmetro do círculo maior é igual à soma dos diâmetros dos círculos internos, ous eja:

2R1 = 2R2 + 2R3

R1 = R2 + R3

(2) R1 – R2 = R3

Substituímos a equação (2) na equação (1):

(3) Área = R3(R1 – R3)

Agora o último cálculo.

Olhando para o triângulo retângulo NBB’ em vermelho na figura abaixo:

Note que os seus lados possuem os seguintes comprimentos: NB’ = R1, NB = R1 – 2R3 e B’B=6. Podemos aplicar Pitágoras:

(R1)² = (R1 – 2R3)² + 6²

(R1)² = (R1)² – 4R1R3 + 4(R3)² + 36

4R1R3 – 4(R3)² = 36

R1R3 – (R3)² = 9

(4) R3(R1 – R3) = 9

Veja que a expressão (4) é exatamente a mesma coisa que a expressão (3). Ou seja, substituindo (4) em (3):

Área = 9