Geometria Analítica – Cordas

O segmento AB é uma das cordas da circunferência de centro C(2;2). Se M(1;1) é o ponto médio de AB e se um dos pontos de interseção da reta CM com a circunferência é D(0;0). Quais os pontos das extremidades de AB?


Veja o desenho que ilustra a situação acima:

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Olhando para este desenho, podemos ver que o raio da circunferência será igual à distância do centro (2; 2) ao ponto D(0; 0). Utilizando a fórmula da distância entre dois pontos, temos:

Agora vamos substituir pelos nossos pontos

Este é o valor do raio da circunferência, agora vamos colocar esta informação na figura e “mexer mais uns pauzinhos”.

Note que a distância do ponto C ao ponto B é justamente o raio da circunferência, assim como a distância do ponto C ao ponto A. Veja a figura abaixo.

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Sabendo que a reta CD é a mediatriz do segmento AB, portanto, está a 90o do mesmo (como no desenho), e por isso conseguimos deduzir a equação da reta AB.

Primeiro vamos olhar para a reta CD. Sabendo as coordenadas dos pontos C e D, conseguimos deduzir que o coeficiente linear da reta CD é zero, pois passa pela origem (0; 0). Usando a fórmula do coeficiente angular de uma reta, calculamos a equação da reta CD.

Substituindo pelos nossos valores:

Portanto, a equação da reta CD é Y=X. E como a reta AB está perpendicular à CD terá a equação da seguinte forma:

Y = -X + b

Onde “b” é o coeficiente linear da equação que ainda não sabemos, mas sabemos que esta reta irá passar pelo ponto M(1; 1), substituindo estas coordenadas na equação, temos:

1 = -1 + b
b = 2

Pronto, a equação da reta AB é Y=-X+2.
Portanto, o ponto A e o ponto B terão coordenadas do tipo

A (Xa; Ya)             B (Xb; Yb)

Sabendo que Y=-X+2, temos

A (Xa; -Xa+2)             B (Xb; -Xb+2)

Sabemos que ambos os pontos estarão a uma distância de do C(2; 2). Então vamos utilizar a fórmula da distância entre dois pontos para podermos deduzir as coordenadas dos pontos A e B.

Vamos elevar os dois lados da igualdade ao quadrado para tirarmos as raízes quadradas.

Chegamos em uma equação do segundo grau. Vamos aplicar Bhaskara e achar suas raízes.

Aplicando Bhaskara, achamos estes pontos como raízes, ou seja, como coordenadas X dos pontos que estão a uma distância de do centro. Portanto, são as absissas (coordenadas X) dos pontos A e B.Agora, para achar qual a coordenada Y de cada um deles, simplesmente substituímos estes valores na equação da reta AB que já sabemos: Y = – X + 2

Portanto, os pontos A e B têm as seguintes coordenadas

Pronto, está aí a solução para este exercício!!!! 🙂