Geo. Analítica – Circunferências

A equação da circunferência que tem como diâmetro a corda comum às circunferências x²+y²-8x=0 e x²+y²-8y=0 é:

(A) x² + y² – 4x – 4y = 0
(B) x² + y² – 4y + 4 = 0
(C) x² + y² + 4x + 4y = 0
(D) x² + y² – 4x + 4 = 0
(E) x² + y² + 4x – 4y = 0


A corda comum à duas circunferências é o segmento formado pelos dois pontos de intersecção destas circunferências, no desenho abaixo o segmento azul.

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Portanto, devemos achar os pontos de intersecção das duas circunferências dadas e calcular o comprimento deste segmento para saber o valor do diâmetro da nova circunferência que é pedida.

Para calcular os pontos de intersecção, devemos resolver o sistema formado pelas duas equações. Veja a seguir:

Agora, para resolver este sistema, iremos proceder da seguinte maneira. Vamos isolar x²+y² na primeira equação e substituir na segunda.

Agora, substituindo este valor na segunda equação, temos:

Portanto, acabamos de descobrir que x=y, então vamos substituir na primeira equação do sistema o valor de x. Então:

Chegamos em uma equação do segundo grau. Para resovê-la devemos aplicar Bhaskara. Suas raízes são:

Estes são os valores de y dos pontos de intersecção das duas circunferências, mas como sabemos que x=y (através da equação calculada anteriormente) os pontos de intersecção das circunferências são:

Usando a fórmula da distância de dois pontos, vamos calcular o comprimento do diâmetro da circunferência nova

Portanto o raio da circunferência será metade deste valor (pois este é o valor do diâmetro), portanto, . Agora só devemos achar as coordenadas do centro da nova circunferência. Iremos utilizar a fórmula do ponto médio, que é:

Onde é a coordenada X do ponto médio e é a coordenada Y do ponto médio

Colocando agora nossos valores, temos

Portanto, o centro da circunferência é (2, 2)
Então a equação desta circunferência será:

Resposta certa, letra A