Funções – Imagem

O conjunto imagem da função trigonométrica


Esta função é muito difícil de se determinar a imagem, no formato em que se encontra.

Devemos então “transformá-la” para que fique em um formato mais fácil de calcular o que se pede!

A transformação é a seguinte:

Vamos começar com a principal jogada desta transformação, multiplicar a função por . Note que estamos multiplicando por 1(pois ) e isto não altera o valor da função.
Agora vamos efetuar a multiplicação:
Esta parte é um pouco complicada. Vamos colocar o termo em evidência

Note que é o valor do seno de 45o e também do cosseno de 45o. Vamos aplicar a substituição conveniente e racionalizar o termo .

Agora veja, que dentro dos colchetes temos uma expressão que podemos trocar por sen(45o-x), lembrando da fórmula:

sen(a-b)=sen(a)cos(b)-sen(b)cos(a)

Pronto, agora é fácil calcular a imagem desta função. A imagem de sen(45o-x) é de -1 até 1, portanto, o valor máximo que f(x) poderá atingir é quando sen(45o-x) for igual a 1, portanto, o valor máximo de f(x) será. O valor mínimo que f(x) poderá atingir é quando sen(45o-x) for igual a -1, portanto, o valor mínimo de f(x) será.

A imagem de f(x) será