Exercícios sobre Teoria dos Números

As questões abaixo foram retiradas do site
OLIMPÍADAS GAÚCHAS DE MATEMÁTICA.

(1) (OBM-1997) O número N tem três algarismos. O produto dos algarismos de N é 126 e a soma dos dois últimos algarismos de N é 11. O algarismo das centenas de N é:

(A) 2.
(B) 3.
(C) 6.
(D) 7.
(E) 9.

(2) (OBM-1997) Se p e q são inteiros positivos tais que

o menor valor que q pode ter é:

(A) 6.
(B) 7.
(C) 25.
(D) 30.
(E) 60.

(3) (OBM-1997) Em certo país a unidade monetária é o pau. Há notas de 1 pau e moedas de meio pau, um terço de pau, um quarto de pau e um quinto de pau. Qual a maior quantia, em paus, que um cidadão pode ter em moedas sem que possa juntar algumas delas para formar exatamente um pau?

(A)
(B)
(C)
(D)
(E)

(4) (OBM-1997) Quantos números de 3 algarismos existem cuja soma dos algarismos é 25?

(A) 2;
(B) 4;
(C) 6;
(D) 8;
(E) 10.

(5) (OBM-1998) Escreva um número em cada círculo da fila abaixo, de modo que a soma de três números quaisquer vizinhos (consecutivos) seja 12.

No último círculo à direita deve estar escrito o número:

(A) 3;
(B) 2;
(C) 1;
(D) 4;
(E) 7.

(6) (OBM-1998) A soma de todos os números ímpares de dois algarismos menos a soma de todos os números pares de dois algarismos é:

(A) 50;
(B) 46;
(C) 45;
(D) 49;
(E) 48.

(7) (OBM-1998) O número que devemos somar ao numerador e subtrair do denominador da fração para transformá-la na sua inversa é:

(A) 3.916;
(B) 3.913;
(C) 3.915;
(D) 3.912;
(E) 3.917.

(8) (OBM-1998) Quantos são os números inteiros x que satisfazem à inequação ?

(A) 13;
(B) 26;
(C) 38;
(D) 39;
(E) 40.

(9) (OBM-1998) Um pai tem 33 anos e seu filho, 7 anos. Depois de quantos anos a idade do pai será o triplo da idade do filho?

(A) 3;
(B) 7;
(C) 6;
(D) 9;
(E) 13.

(10) (OBM-1998) Qual é o dígito das unidades do número 31998?

(A) 1;
(B) 3;
(C) 5;
(D) 7;
(E) 9.

(11) (OBM-1998) No quadrado mágico abaixo, a soma dos números em cada linha, coluna e diagonal é sempre a mesma.

Por isso, no lugar do X devemos colocar o número:

(A) 30;
(B) 20;
(C) 35;
(D) 45;
(E) 40.

(12) (OBM-1999) Um pequeno caminhão pode carregar 50 sacos de areia ou 400 tijolos. Se foram colocados no caminhão 32 sacos de areia, quantos tijolos pode ainda ele carregar?

(A) 132;
(B) 144;
(C) 146;
(D) 148;
(E) 152.

(13) (OBM-1999) Quantos números de dois algarismos são primos e têm como antecessor um quadrado perfeito?

(A) 2;
(B) nenhum;
(C) 1;
(D) 3;
(E) 6.

(14) (OBM-1999) O quociente de 5050 por 2525 é igual a:

(A) 2525;
(B) 1025;
(C) 10025;
(D) 225;
(E) 2 x 2525.

(15) (OBM-1999) Quantos são os possíveis valores inteiros de x para que seja um número inteiro?

(A) 5;
(B) 10;
(C) 20;
(D) 30;
(E) 40.

(16) (OBM-1999) O número N = 11111 . . . 11 possui 1999 dígitos, todos iguais a 1. O resto da divisão de N por 7 é:

(A) 1;
(B) 2;
(C) 4;
(D) 5;
(E) 6.

(17) (OBM-1999) Quantos são os pares (x, y) de inteiros positivos que satisfazem a equação 2x +3y = 101?

(A) 13;
(B) 14;
(C) 15;
(D) 16;
(E) 17.

(18) (OBM-1999) As representações decimais dos números 21999 e 51999 são escritas lado a lado. O número de algarismos escritos é igual a:

(A) 1999;
(B) 2000;
(C) 2001;
(D) 3998;
(E) 3999.

(19) (OBM-2000) Quantos números inteiros e positivos menores do que 1.000.000 existem cujos cubos terminam em 1?

(A) 1.000;
(B) 10.000;
(C) 50.000;
(D) 100.000;
(E) 500.000.

(20) (OBM-2000) Quantos são os números inteiros de 2 algarismos que são iguais ao dobro do produto de seus algarismos?

(A) 0;
(B) 1;
(C) 2;
(D) 3;
(E) 4.

(21) (OBM-2000) Escrevem-se, em ordem crescente, os números inteiros e positivos que sejam múltiplos de 7 ou de 8 (ou de ambos), obtendo-se 7, 8, 14, 16, …. O 100o número escrito é:

(A) 406;
(B) 376;
(C) 392;
(D) 384;
(E) 400.

(22) (OBM-2000) Uma caixa contém 900 cartões, numerados de 100 a 999. Retiram-se ao acaso (sem reposição) cartões da caixa e anotamos a soma dos seus algarismos. Qual é a menor quantidade de cartões que devem ser retirados da caixa, para garantirmos que pelo menos três destas somas sejam iguais?

(A) 51;
(B) 52;
(C) 53;
(D) 54;
(E) 55.

(23) (São Paulo-2000) Dados 17 números inteiros positivos quaisquer, sempre é possível escolher cinco deles de modo que a soma dos cinco seja divisível por 5. Justifique este fato.

(24) (Rio Grande do Norte-1999) Numa linha, escrevemos 49 números de tal modo que, exceto o primeiro e o último, cada um é igual a soma dos dois vizinhos. Se o primeiro número é 1, ache o último.

(25) (Rio de Janeiro-1998) Cinco pontos sobre uma circunferência estão numerados consecutivamente 1, 2, 3, 4 e 5, no sentido dos ponteiros do relógio. Uma pulga pula de um ponto a outro da seguinte forma: se ela estiver sobre um ponto de número ímpar, move-se um ponto; e se ela estiver sobre um ponto de número par, move-se dois pontos (sempre no sentido dos ponteiros do relógio). Se a pulga estiver inicialmente no número 1, onde ela estará após 1998 pulos?

(26) (Ceará-1999) Encontre todos os inteiros a e b tais que ab=a+b.

(27) (OBM-1997) No edificio mais alto de Terra Brasilis moram Eduardo e Augusto. O número do andar do apartamento de Eduardo coincide com o número do apartamento de Augusto. A soma dos números dos apartamentos dos dois é 2164. Calcule o número do apartamento de Eduardo sabendo que há 12 apartamentos por andar. (Por exemplo, no primeiro andar estão os apartamentos de 1 a 12, no segundo, de 13 a 24, e assim por diante).

(28) (OBM-1997) Mostre que existem infinitos inteiros positivos n satisfazendo simultáneamente as seguintes condições:

  1. A) n é ímpar;
    B) n possui exatamente 1200 divisores positivos;
    C) existem exatamente 1997 triângulos retângulos, dois a dois não congruentes, de lados inteiros e n como medida de um dos catetos.

(29) (OBM-1998) Que frações devem ser retiradas da soma

para que a soma das restantes seja igual a 1?

(30) (OBM-1998) O menor múltiplo de 1998 que possui apenas os algarismos 0 e 9 é 9990. Qual é o menor múltiplo de 1998 que possui apenas os algarismos 0 e 3?

(31) (OBM-1999) Corte 10 algarismos do número 1234512345123451234512345, para que o número restante seja o maior possível.

(32) (OBM-1999) Pedro distribuiu 127 moedas de 1 real em sete caixas e colocou em cada uma delas uma etiqueta dizendo o número de moedas da caixa. Essa distribuição foi feita de forma que qualquer quantia de R$1,00 a R$127,00 pudesse ser paga entregando-se apenas caixas fechadas. De que maneira Pedro fez essa distribuição?

(34) (OBM-1999) Um edifício muito alto possui 1000 andares, excluindo-se o térreo. Do andar térreo partem 5 elevadores:

O elevador A pára em todos os andares. O elevador B pára nos andares múltiplos de 5, isto é, 0, 5, 10, 15, … O elevador C pára nos andares múltiplos de 7, isto é, 0, 7, 14, 21, … O elevador D pára nos andares múltiplos de 17, isto é, 0, 17, 34, 51, … O elevador E pára nos andares múltiplos de 23, isto é, 0, 23, 46, 69, …

(A) Mostre que, excetuando-se o andar térreo, não existe nenhum andar onde param os 5 elevadores;
(B) Determine todos os andares onde param 4 elevadores.