Equação do Segundo Grau – Valor Mínimo

(BANRISUL – 2001) O quadrado de área A(x) está inscrito em um quadrado de lado 5, conforme indica a figura abaixo.

banr01.gif (3112 bytes)

O valor mínimo de A(x) é

    (A) 6,25
(B) 7,00
(C) 8,33
(D) 12,50
(E) 25,00


Os valores que estão em jogo nesta situação, são: “x” e “5”. Portanto, devemos expressar o valor do lado do quadrado cinza utilizando apenas os valores x e 5.

Vamos dar uma olhada no triângulo retângulo verde da figura abaixo:

banr02.gif (3277 bytes)

A hipotenusa deste triângulo é o lado do quadrado cinza. Aplicando pitágoras neste triângulo, temos:

Desenvolvendo a expressão dos parênteses:


Note que a área A(x) do quadrado cinza é justamente lado2, portanto, podemos substituir:

Veja que esta é uma equação do segundo grau (o gráfico é uma parábola), mostrada no desenho abaixo:

banr03.gif (2222 bytes)

O valor mínimo (pedido pelo exercício) da área do quadrado, será exatamente o valor da coordenada Y do vértice desta parábola (Yv).

Lembrando da fórmula do Yv.

Onde

O Yv será:

Yv = 12,5

Resposta correta, letra “D”.