Binômio de Newton

(ITA – 1995) Para cada n pertence.gif (828 bytes) N, temos que:

bin_newton-01.gif (1515 bytes)

é igual a

          (A) (-1)n . 22n
(B) 22n
(C) (-1)n . 2n
(D) (-1)n+1 . 22n
(E) (-1)n+1 . 2n


A primeira coisa a fazer, é visualizar os 1’s que estão nas pontas como sendo também combinações:

bin_newton-02.gif (1784 bytes)

Agora temos que utilzar a imaginação. O que que nós conhecemos que utiliza soma de combinações? Isto mesmo, Binômio de Newton. Devemos encontrar um binômio que se encaixe com a soma envolvida.

Vamos conjecturar um pouco. Se a soma pedida fosse:bin_newton-03.gif (2156 bytes)

Nós poderíamos encaixar no binômio (1+1)4n e a resposta seria 24n.

Se a soma pedida fosse:

bin_newton-04.gif (2129 bytes)

Nós poderíamos encaixar no binômio (1-1)4n e a resposta seria 04n = 0.

O problema desta questão é que os denominadores envolvidos na soma são só os PARES. Nos exemplos acima os denominadores eram todos os naturais até 4n.

Esta situação nos faz pensar um pouco mais além dos REAIS. Veja o seguinte desenvolvimento utilizando COMPLEXOS NÃO REAIS:

bin_newton-05.gif (2276 bytes)

Este desenvolvimento é a charada para esta questão.

Vamos colocar os valores das potências de i que aparecem multiplicando cada número binomial:

i0 = 1
i1 = i
i2 = -1
i3 = -i
i4 = 1
i5 = i
i6 = -1
i7 = -i
i8 = 1
i9 = i
i10 = -1
i11 = -i

Veja que as potências seguem de acordo com a seqüência 1, i, -1, -i. Substituindo no desenvolvimento de (1+i)4n.

bin_newton-06.gif (3600 bytes)

Vamos separar as parcelas reais das imaginárias:

(1)        bin_newton-07.gif (2225 bytes)

Agora que vem a grande sacada deste exercício. Vamos guardar esta como sendo a equação (1), e trabalhar somente com (1+i)4n.

Podemos rescrever esta expressão da seguinte forma:

(1+i)4n = [(1+i)2]2n

(1+i)4n = [12 + 2.1.i + i2]2n

(1+i)4n = [1 + 2i – 1]2n

(1+i)4n = ( 2i )2n

(1+i)4n = [( 2i )2]n

(1+i)4n = (-4)n        (2)

Vamos substituir o valor da expressão (2) na (1):

bin_newton-08.gif (2180 bytes)

Note que temos uma igualdade entre dois complexos. Lembre-se, dois complexos serão iguais quando as partes reais forem iguais e as partes imaginárias forem iguais também.

O número complexo da esquerda é REAL, ou seja, a parte imaginária é ZERO. Sendo assim, o número complexo da direita também tem a parte imaginária NULA. Com este raciocínio, podemos escrever:

bin_newton-09.gif (1526 bytes)

Que é exatamente o que o enunciado está pedindo 🙂

Portanto, a resposta final é (-4)n , como não tem nas alternativas, vamos proceder mais um pouco:

(-4)n

[(-1) . 4]n

(-1)n . 4n

(-1)n . 22n

Que é o que temos na alternativa “A”.