Binômio de Newton

(IME – 1996) Determine o termo máximo do desenvolvimento da expressão:


Esta questão consiste em nada mais nada menos que uma aplicação de regras.

Qualquer questão que venha a pedir o maior valor do desenvolvimento de um binômio de Newton pode ser resolvida assim.

A primeira coisa a fazer é lembrar a fórmula de um termo qualquer do desenvolvimento do binômio genérico (A + B)n:

Onde (famoso número binomial), “A” e “B” são os termos do binômio e “n” é o expoente do binômio.

Agora vem a manha secreta. Sabendo a fórmula do Tp+1, vamos encontrar a fórmula para o Tp. Para isso é só substituir o p por p-1.

TchãTchãTchãTchãããããã… Dividimos as duas fórmulas, Tp+1/Tp:

Vamos substituir o número binomial pela sua fórmula e desenvolver os cálculos:

Conserva-se a fração de cima e multiplica-se pela de baixo:

Vamos agrupar os termos semelhantes:

Dá para “cortar” o n!, dividir os termos com base B e A e desenvolver um fator das fatoriais p! e (n-p+1)!:

Agora dá para simplificar os últimos fatoriais, e teremos:

Esta “fórmula” acima nos dirá qual o maior termo do desenvolvimento da questão.

Note que Tp+1 é o termo posicionado imediatamente depois do Tp.

Esta fórmula nos dá a relação existente entre um termo qualquer e seu sucessor.

Se tivermos Tp+1 igual à Tp multiplicado por um número MAIOR que 1, então podemos garantir que Tp+1 > Tp.

Portanto, para Tp+1 ser maior que Tp, devemos ter:

Enquanto isto acontecer, o próximo termo é sempre maior que o anterior.

Vamos voltar ao nosso exercício. Substituindo os valores do binômio do enunciado na desigualdade acima, teremos:

Ou seja, enquanto p for menor que 16,5, o termo seguinte será maior que o termo anterior.

Como “p” é natural, o último “p” a satisfazer esta equação é o p=16, que nos afirma que .

Sendo assim, o maior termo do desenvolvimento do binômio dado no enunciado é o DÉCIMO SÉTIMO TERMO