Arcos no quadrado

Na figura abaixo são apresentados: um quadrado de lado 1 u.c. e 4 arcos de circunferências todos com centro nos vértices dos quadrados e com raio igual ao lado do quadrado. Com estas informações, qual o valor da área hachurada?

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Primeiro devemos fazer alguns “riscos” para nos auxiliar na montagem da resolução.

Veja a figura abaixo:

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Note que o risco vermelho adicionado à figura tem comprimento exatamente igual ao raio da circunferência destacada, ou seja, vale 1. Agora vamos fazer outro “risco” nesta figura:

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Note, novamente, que o novo risco vermelho da figura acima tem comprimento igual ao raio da circunferência destacada, ou seja, também 1. Com isso, temos o seguinte triângulo equilátero destacado:

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O lado deste triângulo vale 1 (mesma medida do lado do quadrado). Portanto, utilizando a fórmula da área de um triângulo equilátero, podemos concluir que a área deste triângulo será:

Como sabemos, os ângulos internos de um triângulo equilátero valem todos 60o. Portanto, podemos destacar o seguinte setor circular no desenho:

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Vamos chamar este de setor1.
Sabemos que o raio deste arco é 1 (mesmo lado do quadrado). Portanto, como 60o equivalem a 1/6 da circunferência completa, a área deste setor será 1/6 área completa do círculo. A área completa do círculo é:

A = π.R²
A = π.1²
A = π

Portanto, a área do setor1 será

Agora, de posse destes valores, podemos descobrir a área do pedaço destacado na figura abaixo:

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Esta área será igual à área do setor1 menos a área do triângulo equilátero. Vamos chamar esta área de A1, ou seja:

Guardamos este valor e vamos para um próximo passo. Sabemos que o ângulo interno de um quadrado vale 90o. Portanto:

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O setor circular destacado de amarelo na figura acima tem 30o. Se 30o equivalem a 1/12 de 360o (circunferência completa), sua área também será. Ou seja, chamando de setor2, temos:

Veja só, se pegarmos este valor e diminuirmos A1, teremos um pedaço bem interessante para trabalharmos.

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Tirando o MMC e calculando:

Guardamos este valor e vamos agora calcular a seguinte área (essa é mais fácil).

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Note que esta área nada mais é do que um setor de 90o do círculo de rai 1. Como 90o equivalem a 1/4 da circunferência completa, sua área também será 1/4 da área total. Ou seja, como a área total vale π, A3 irá valer:

Veja o desenho abaixo:

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Se o lado do quadrado vale 1, sua área também vale 1. Portanto, a área cinza marcada na figura acima será:

Acinza = 1 – A3 – A2

Tirando MMC e calculando:

Veja, a área solicitada no exercício é uma área formada por 4 partes de Acinza :

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Então sua área será 4 vezes a Acinza:

Esta é a resposta!