Análise Combinatória

Quantas são as palavras de 4 letras, formadas apenas por vogais, que têm exatamente duas letras iguais?

(A) 60
(B) 120
(C) 180
(D) 240
(E) 360


Vamos traçar quatro “casinhas” que irão comportar as letras da palavra que queremos formar:

__  __  __  __

Temos disponíveis as cinco vogais para colocar nestas quatro casinhas, obedecendo apenas uma regra: devemos ter apenas um par de letras iguais e as restantes todas distintas.

Vamos escolher duas casas que possuirão as letras repetidas. Para este primeiro passo, podem ser quaisquer duas.

__  __

1 __ 1 __

Sendo assim, podemos colocar qualquer uma das 5 vogais na primeira casa (que irá repetir na segunda). Na terceira casa, podemos colocar qualquer uma das vogais, menos aquela que já colocamos na primeira casa, ou seja, temos 4 possibilidades. Já na última casa (a quarta), das 5 letras disponíveis, só poderemos utilizar 3 delas, pois duas já foram colocadas nas primeiras casas e não podemos repetir neste momento!

Sendo assim, podemos escrever da seguinte forma:

__  __

1 __ 1 __

5

4

3

Utilizando o principio fundamental da contagem (PFC), teremos, para este caso de repetição nas duas primeiras casa:

5 . 4 . 3 = 60 palavras

Mas este é o número de palavras apenas quando a repetição for nas duas primeiras casa. Temos também as seguintes possibilidades de repetição das vogais:

__ 1

__  __

1 __

Pode ser nas casas centrais

__

1 __ 1

__

1 __

Pode ser na primeira e na terceira

__

1 __ 1 __ 1

__

Cada possibilidade de colocar as repetidas, irá nos gerar 60 novas palavras. Mas quantas possibilidades diferentes de se colocar as vogais repetidas podemos criar?

Aplicando análise combinatória fica fácil. Teremos COMBINAÇÃO de 4 elementos (todas as casas) tomados 2 à 2 (casas repetidas). Isto será:

Portanto, teremos 6 situações em que serão geradas 60 palavras, ou seja, teremos 6 . 60 = 360 palavras!!

Resposta correta, letra “E”.