Ensino Médio ⇒ (Simulado SAS Enem 2018) Probabilidade Tópico resolvido

[MMedicina]

..] Segundo o paradoxo do aniversário, em um grupo de 23 pessoas escolhidas aleatoriamente, a chance de duas pessoas terem a mesma data de aniversário é de mais de 50%. Se o grupo tiver mais de 57 pessoas, a probabilidade é maior que 99%.

Considerando que um ano tem 365 dias, em um grupo de n pessoas, a probabilidade de que pelo menos duas delas façam aniversário no mesmo dia é dada por

a) [tex3]\dfrac{365!}{365^n}[/tex3]

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[tex3]\dfrac{365!}{365^n}[/tex3]

b) [tex3]1 \ - \ \dfrac{364}{365^2}[/tex3]

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[tex3]1 \ - \ \dfrac{364}{365^2}[/tex3]

c) [tex3]1 \ - \ \dfrac{365!}{365^n }[/tex3]

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[tex3]1 \ - \ \dfrac{365!}{365^n }[/tex3]

d) [tex3]\dfrac{365!}{365^n \cdot (365 \ - \ n)!}[/tex3]

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[tex3]\dfrac{365!}{365^n \cdot (365 \ - \ n)!}[/tex3]

e) [tex3]1 \ - \ \dfrac{365!}{365^n \cdot (365 \ - \ n)!}[/tex3]

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[tex3]1 \ - \ \dfrac{365!}{365^n \cdot (365 \ - \ n)!}[/tex3]

Resposta

---

gabarito letra E

[joaopcarv]

Probablidades complementares:

[tex3]\mathsf{P \ + \ Q \ = \ 1}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{P \ + \ Q \ = \ 1}[/tex3]

, em que [tex3]\mathsf{P}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{P}[/tex3]

é a probabilidade de que pelo menos duas pessoas façam aniversário no mesmo dia e [tex3]\mathsf{Q}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{Q}[/tex3]

é a probabilidade de que nenhuma pessoa faça aniversário no mesmo dia.

Como [tex3]\mathsf{P}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{P}[/tex3]

é a soma das probablidades de pelo menos duas, pelo menos três, pelo menos quatro, ..., até [tex3]\mathsf{n}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{n}[/tex3]

pessoas fazendo aniversário no mesmo dia, é mais fácil calcular [tex3]\mathsf{Q}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{Q}[/tex3]

.

[tex3]\mathsf{Q \ = \ \dfrac{f}{T}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{Q \ = \ \dfrac{f}{T}}[/tex3]

, onde [tex3]\mathsf{f}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{f}[/tex3]

são os casos favoráveis e [tex3]\mathsf{T}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{T}[/tex3]

são os casos totais.

O total de casos é a distribuição de [tex3]\mathsf{365}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{365}[/tex3]

dias para cada uma das [tex3]\mathsf{n}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{n}[/tex3]

pessoas, ou seja, [tex3]\mathsf{T \ = \ 365^n.}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{T \ = \ 365^n.}[/tex3]

Os casos favoráveis são os arranjos de [tex3]\mathsf{365}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{365}[/tex3]

dias para [tex3]\mathsf{n}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{n}[/tex3]

pessoas [tex3]\mathsf{(365 \times 364 \times 363 \times...)}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{(365 \times 364 \times 363 \times...)}[/tex3]

, ou seja, [tex3]\mathsf{f \ = \ \dfrac{365!}{(365 \ - \ n)!}.}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{f \ = \ \dfrac{365!}{(365 \ - \ n)!}.}[/tex3]

Temos então [tex3]\mathsf{Q \ = \ \dfrac{365!}{365^n \cdot (365 \ - \ n)!}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{Q \ = \ \dfrac{365!}{365^n \cdot (365 \ - \ n)!}}[/tex3]

, portanto, [tex3]\boxed{\mathsf{P \ = \ 1 \ - \ \dfrac{365!}{365^n \cdot (365 \ - \ n)!}}}[/tex3]

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[tex3]\boxed{\mathsf{P \ = \ 1 \ - \ \dfrac{365!}{365^n \cdot (365 \ - \ n)!}}}[/tex3]

[nathaalia]

Boa noite, tubo bem? Não entendi muito bem o (365 - n)!. Assisti a esse vídeo (https://www.youtube.com/watch?v=BryqkCOltvY) e cheguei na letra C com base nos exemplos que ele deu. Poderia me explicar, por favor?

[petras]

nathaalia,

Veja que no seu vídeo teríamos para 2 pessoas
[tex3]P_2 =1- \frac{365.364}{365.365}=\boxed{1-\frac{364}{365}}\checkmark[/tex3]

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[tex3]P_2 =1- \frac{365.364}{365.365}=\boxed{1-\frac{364}{365}}\checkmark[/tex3]

Na alternativa c: [tex3]P_2=1-\frac{365!}{365^2}=\cancel{1-\frac{364!}{365}}[/tex3]

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[tex3]P_2=1-\frac{365!}{365^2}=\cancel{1-\frac{364!}{365}}[/tex3]

Na alternativa e: [tex3]P_2=1-\frac{365!}{365^2(363)!}=1-\frac{364!}{365.363!}=\boxed{1-\frac{364}{365}}\checkmark[/tex3]

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[tex3]P_2=1-\frac{365!}{365^2(363)!}=1-\frac{364!}{365.363!}=\boxed{1-\frac{364}{365}}\checkmark[/tex3]

O (365-n)! veio da fórmula do Arranjo :
[tex3]A_{ n,p} = \frac{n!}{(n-p)!}\implies A_{365,n} = \frac{365!}{(365-n)!}[/tex3]

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[tex3]A_{ n,p} = \frac{n!}{(n-p)!}\implies A_{365,n} = \frac{365!}{(365-n)!}[/tex3]

[nathaalia]

Entendi, muito obrigada!!