IME / ITA ⇒ (IME - 2007) Soluções Inteiras de uma Equação Quadrática Tópico resolvido
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Yuri
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Out 2006
30
18:53
(IME - 2007) Soluções Inteiras de uma Equação Quadrática
Sejam [tex3]x_1[/tex3]
e [tex3]x_2[/tex3]
as raízes da equação [tex3]x^2[/tex3]
+(m-15)x+m=0.Sabendo que [tex3]x_1[/tex3]
e [tex3]x_2[/tex3]
são números inteiros,determine o conjunto de valores possíveis para m.
Editado pela última vez por Yuri em 30 Out 2006, 18:53, em um total de 1 vez.
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bigjohn
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Nov 2006
01
19:19
Re: (IME - 2007) Soluções Inteiras de uma Equação Quadrática
E ae Yuri, blz?
Cara , essa eu vi resolvida numa resoluçao de cursinho. Digo mais, na prova eu nao consegui fazer essa, mas deixa quieto, rs..
A gente faz assim,utilizando a fórmula do produto das raízes: [tex3]x_1 \times x_2 = m[/tex3] . Daí que se as raízes são inteiras o produto delas tambem eh que conclui que m é inteiro também.
Agora, se [tex3]x_1[/tex3] é raiz, quando substituirmos o x da questao por [tex3]x_1[/tex3] resulta 0.
[tex3]{x_1}^2+(m-15)x_1+m=0.[/tex3]
Daí isola o m:
[tex3]m=\frac{15x-x^2}{1+x}[/tex3]
Se liga que dá pra escrever como:
[tex3]m=\frac{(x-1)(x+1)-14}{1+x}[/tex3]
ou
[tex3]m=x-1-\frac{14}{1+x}[/tex3]
Aí se o m é inteiro todo lado direito tem que ser inteiro também e (1+X) tem que ser divisor de 14:
[tex3]divisores(14) = {\pm 1, \pm 2, \pm 7, \pm 14 }[/tex3]
x+1 = -1 faz que m = 11
x+1 = 1 faz que m = -15
...
e assim vai achando os valores de m.
flw
Cara , essa eu vi resolvida numa resoluçao de cursinho. Digo mais, na prova eu nao consegui fazer essa, mas deixa quieto, rs..
A gente faz assim,utilizando a fórmula do produto das raízes: [tex3]x_1 \times x_2 = m[/tex3] . Daí que se as raízes são inteiras o produto delas tambem eh que conclui que m é inteiro também.
Agora, se [tex3]x_1[/tex3] é raiz, quando substituirmos o x da questao por [tex3]x_1[/tex3] resulta 0.
[tex3]{x_1}^2+(m-15)x_1+m=0.[/tex3]
Daí isola o m:
[tex3]m=\frac{15x-x^2}{1+x}[/tex3]
Se liga que dá pra escrever como:
[tex3]m=\frac{(x-1)(x+1)-14}{1+x}[/tex3]
ou
[tex3]m=x-1-\frac{14}{1+x}[/tex3]
Aí se o m é inteiro todo lado direito tem que ser inteiro também e (1+X) tem que ser divisor de 14:
[tex3]divisores(14) = {\pm 1, \pm 2, \pm 7, \pm 14 }[/tex3]
x+1 = -1 faz que m = 11
x+1 = 1 faz que m = -15
...
e assim vai achando os valores de m.
flw
Editado pela última vez por bigjohn em 01 Nov 2006, 19:19, em um total de 1 vez.
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