Olimpíadas ⇒ (OCM) Geometria Espacial: Poliedros

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A superfície de um planeta esférico é dividida entre os países de uma federação, de tal forma que nenhum país engloba outros países, cada país faz fronteira com exatamente três outros e nenhuma fronteira entre dois países se reduz a um ponto. Nesse planeta, uma "tríplice fronteira" é um ponto em que as fronteiras de três países se encontram. Por outro lado, uma aliança geopolítica é um grupo [tex3]p_1,p_2,p_3...p_k[/tex3]

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[tex3]p_1,p_2,p_3...p_k[/tex3]

de países, tal que p(i) faz fronteira com p(i+1) para todo i (com p(k+1)=p(1) e i no conjunto 1, 2... k). Sabendo que não há alianças geopolíticas com mais de cinco países, mostre que o planeta tem no máximo quatro tríplices fronteiras. Além disso, mostre que a igualdade ocorre se, e só se, o planeta tiver exatamente quatro países.