Física II ⇒ (FB) Dualidade Onda x Partícula

[Deleted User 23699]

Uma arma atira partículas de 1g a uma velocidade de 100m/s por um orifício de 2mm de diâmetro. Quão longe da linha da arma um alvo deve estar para se observar uma mancha de 1cm de diâmetro por conta do princípio da incerteza?

Resposta

---

2,3 x 10^{27}m

[παθμ]

Princípio da incerteza nas duas direções transversais à direção do tiro: [tex3]\Delta p_x \Delta x \geq \frac{\hbar}{2}, \; \Delta p_y \Delta y \geq \frac{\hbar}{2}.[/tex3]

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[tex3]\Delta p_x \Delta x \geq \frac{\hbar}{2}, \; \Delta p_y \Delta y \geq \frac{\hbar}{2}.[/tex3]

Podemos estimar [tex3]\Delta x= \Delta y=r=10^{-3} \; \text{m},[/tex3]

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[tex3]\Delta x= \Delta y=r=10^{-3} \; \text{m},[/tex3]

daí o desvio padrão do momento em cada uma dessas direções fica [tex3]\Delta p_x = \Delta p_y \approx \frac{\hbar}{2r} \Longrightarrow \Delta v_x = \Delta v_y \approx \frac{\hbar}{2mr}.[/tex3]

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[tex3]\Delta p_x = \Delta p_y \approx \frac{\hbar}{2r} \Longrightarrow \Delta v_x = \Delta v_y \approx \frac{\hbar}{2mr}.[/tex3]

Por isso, podemos estimar que a velocidade da bala na direção transversal ao tiro é [tex3]\Delta v=\sqrt{2} \Delta v_x=\frac{\hbar}{\sqrt{2} mr},[/tex3]

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[tex3]\Delta v=\sqrt{2} \Delta v_x=\frac{\hbar}{\sqrt{2} mr},[/tex3]

e então o ângulo que ela forma com essa direção satisfaz [tex3]\tan(\theta)=\frac{\hbar}{\sqrt{2}mvr}.[/tex3]

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[tex3]\tan(\theta)=\frac{\hbar}{\sqrt{2}mvr}.[/tex3]

Para observar uma mancha com raio [tex3]R:[/tex3]

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[tex3]R:[/tex3]

[tex3]\tan(\theta)=\frac{R}{d} \Longrightarrow d=\frac{\sqrt{2} m v r R}{\hbar}.[/tex3]

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[tex3]\tan(\theta)=\frac{R}{d} \Longrightarrow d=\frac{\sqrt{2} m v r R}{\hbar}.[/tex3]

Plugando os valores numéricos: [tex3]\boxed{ d \approx 6,7 \cdot 10^{27} \; \text{m}}[/tex3]

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[tex3]\boxed{ d \approx 6,7 \cdot 10^{27} \; \text{m}}[/tex3]

Obs: Esses resultados obtidos usando o princípio da incerteza sempre são estimativas. Por isso, acertar a ordem de grandeza já está bom.