IME / ITA ⇒ Apostila Poliedro IME/ITA (Trigonometria) Tópico resolvido

[pedrocg2008]

Sendo [tex3]a\cdot\cos(\alpha) + b\cdot\sen(\alpha) = a\cdot\cos(\beta) + b\cdot\sen(\beta)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a\cdot\cos(\alpha) + b\cdot\sen(\alpha) = a\cdot\cos(\beta) + b\cdot\sen(\beta)[/tex3]

, tal que [tex3]\alpha\ne\beta+K\pi;\,K\in\mathbb{Z}[/tex3]

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[tex3]\alpha\ne\beta+K\pi;\,K\in\mathbb{Z}[/tex3]

, calcule em função de [tex3]a[/tex3]

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[tex3]a[/tex3]

e [tex3]b[/tex3]

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[tex3]b[/tex3]

o valor de [tex3]\sen (\alpha + \beta)[/tex3]

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[tex3]\sen (\alpha + \beta)[/tex3]

Resposta

---

sen(Alfa + Beta) = 2ab/(a²+b²)

[NigrumCibum]

Bem, vamos começar reescrevendo a expressão: [tex3]\frac{\cos(\alpha)-\cos(\beta)}{\sen(\beta)-\sen(\alpha)}=\frac{b}{a}.[/tex3]

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[tex3]\frac{\cos(\alpha)-\cos(\beta)}{\sen(\beta)-\sen(\alpha)}=\frac{b}{a}.[/tex3]

Temos que: [tex3]\cos(\alpha)-~cos(\beta)=-2\sen(\frac{\alpha+\beta}{2})\sen(\frac{\alpha-\beta}{2})[/tex3]

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[tex3]\cos(\alpha)-~cos(\beta)=-2\sen(\frac{\alpha+\beta}{2})\sen(\frac{\alpha-\beta}{2})[/tex3]

e [tex3]\sen(\beta)-\sen(\alpha)=-2\sen(\frac{\alpha-\beta}{2})\cos(\frac{\alpha+\beta}{2})[/tex3]

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[tex3]\sen(\beta)-\sen(\alpha)=-2\sen(\frac{\alpha-\beta}{2})\cos(\frac{\alpha+\beta}{2})[/tex3]

, portanto: [tex3]\frac{\cos(\alpha)-\cos(\beta)}{\sen(\beta)-\sen(\alpha)}=\tg(\frac{\alpha+\beta}{2})[/tex3]

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[tex3]\frac{\cos(\alpha)-\cos(\beta)}{\sen(\beta)-\sen(\alpha)}=\tg(\frac{\alpha+\beta}{2})[/tex3]

[tex3]⇒\tg(\frac{\alpha+\beta}{2})=\frac{1-\cos(\alpha+\beta )}{\sen(\alpha+\beta)}=\frac{1-\sqrt{1-\sen^2(\alpha+\beta)}}{\sen(\alpha+\beta)}[/tex3]

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[tex3]⇒\tg(\frac{\alpha+\beta}{2})=\frac{1-\cos(\alpha+\beta )}{\sen(\alpha+\beta)}=\frac{1-\sqrt{1-\sen^2(\alpha+\beta)}}{\sen(\alpha+\beta)}[/tex3]

, adotando [tex3]\sen(\alpha+\beta)=k[/tex3]

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[tex3]\sen(\alpha+\beta)=k[/tex3]

, temos: [tex3]\frac{1-\sqrt{1-k^2}}{k}=\frac{b}{a}⇒k^2\frac{(a^2+b^2)}{2a^2}-1=\sqrt{1-k^2}[/tex3]

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[tex3]\frac{1-\sqrt{1-k^2}}{k}=\frac{b}{a}⇒k^2\frac{(a^2+b^2)}{2a^2}-1=\sqrt{1-k^2}[/tex3]

, adotando [tex3]\phi=\frac{(a^2+b^2)}{2a^2}[/tex3]

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[tex3]\phi=\frac{(a^2+b^2)}{2a^2}[/tex3]

, temos: [tex3]k^2\phi-1=\sqrt{1-k^2}⇒ k^4\phi^2+k^2(1-2\phi)=0⇒ k^2(k^2\phi^2+1-2\phi)=0⇒ k=\frac{\sqrt{2\phi-1}}{\phi}=\frac{2ab}{a^2+b^2}[/tex3]

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[tex3]k^2\phi-1=\sqrt{1-k^2}⇒ k^4\phi^2+k^2(1-2\phi)=0⇒ k^2(k^2\phi^2+1-2\phi)=0⇒ k=\frac{\sqrt{2\phi-1}}{\phi}=\frac{2ab}{a^2+b^2}[/tex3]

[pedrocg2008]

Muitooo obrigado Nigrum ajudou demais!!!
Mas ainda tenho uma dúvida, como você achou que tg((Alfa + Beta)/2) = (1 - cos(Alfa + Beta))/sen(Alfa + Beta)

[snooplammer]

É possível demonstrar que pra [tex3]f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex3]

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[tex3]f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex3]

e [tex3]f(\varphi) = a\sen \varphi + b\cos\varphi[/tex3]

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[tex3]f(\varphi) = a\sen \varphi + b\cos\varphi[/tex3]

, temos que

[tex3]f(\varphi) = \sqrt{a^2+b^2}\sen(\varphi + \gamma)[/tex3]

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[tex3]f(\varphi) = \sqrt{a^2+b^2}\sen(\varphi + \gamma)[/tex3]

, sendo [tex3]\gamma = \arg(a+bi) = \arctan \frac{b}{a}[/tex3]

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[tex3]\gamma = \arg(a+bi) = \arctan \frac{b}{a}[/tex3]

. Então usando essa identidade, temos que

[tex3]a\cdot\cos(\alpha) + b\cdot\sen(\alpha) = a\cdot\cos(\beta) + b\cdot\sen(\beta)[/tex3]

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[tex3]a\cdot\cos(\alpha) + b\cdot\sen(\alpha) = a\cdot\cos(\beta) + b\cdot\sen(\beta)[/tex3]

[tex3]\sqrt{a^2+b^2}\sen\(\alpha + \arctan \frac{a}{b}\) = \sqrt{a^2+b^2}\sen\(\beta + \arctan \frac{a}{b}\)[/tex3]

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[tex3]\sqrt{a^2+b^2}\sen\(\alpha + \arctan \frac{a}{b}\) = \sqrt{a^2+b^2}\sen\(\beta + \arctan \frac{a}{b}\)[/tex3]

[tex3]\sen\(\alpha + \arctan \frac{a}{b}\) =\sen \(\beta + \arctan \frac{a}{b}\) [/tex3]

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[tex3]\sen\(\alpha + \arctan \frac{a}{b}\) =\sen \(\beta + \arctan \frac{a}{b}\) [/tex3]

Disso vem que [tex3]\alpha + \arctan \frac{a}{b} = \beta + \arctan \frac{a}{b} \implies \alpha = \beta\, (\text {absurdo}) [/tex3]

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[tex3]\alpha + \arctan \frac{a}{b} = \beta + \arctan \frac{a}{b} \implies \alpha = \beta\, (\text {absurdo}) [/tex3]

ou então

[tex3]\alpha + \arctan \frac{a}{b} = \pi-\( \beta + \arctan \frac{a}{b}\) [/tex3]

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[tex3]\alpha + \arctan \frac{a}{b} = \pi-\( \beta + \arctan \frac{a}{b}\) [/tex3]

, disso vem que [tex3]\alpha + \beta = \pi - 2\arctan \frac{a}{b}[/tex3]

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[tex3]\alpha + \beta = \pi - 2\arctan \frac{a}{b}[/tex3]

, aplicando a função seno em ambos os lados temos que [tex3]\sen(\alpha+\beta) = \sen\(2\arctan \frac{a}{b}\)[/tex3]

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[tex3]\sen(\alpha+\beta) = \sen\(2\arctan \frac{a}{b}\)[/tex3]

Mas, [tex3]\sen 2x = \frac{2\tan x}{1 + \tan^2 x}[/tex3]

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[tex3]\sen 2x = \frac{2\tan x}{1 + \tan^2 x}[/tex3]

, então segue que após fazer as continhas que

[tex3]\sen(\alpha+\beta) = \sen\(2\arctan \frac{a}{b}\) = \frac{2ab}{a^2+b^2} \ \blacksquare[/tex3]

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[tex3]\sen(\alpha+\beta) = \sen\(2\arctan \frac{a}{b}\) = \frac{2ab}{a^2+b^2} \ \blacksquare[/tex3]

ADAMSKA!

[NigrumCibum]

pedrocg2008, é uma outra fórmula para o arco metade, poderia ter usado [tex3]\tan(\frac{x}{2})=\frac{\sen(x)}{1+\cos(x)}[/tex3]

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[tex3]\tan(\frac{x}{2})=\frac{\sen(x)}{1+\cos(x)}[/tex3]