Pré-Vestibular ⇒ Teorema dos Cossenos Tópico resolvido

[bv67]

Os lados de um triângulo são: AB = 12, AC= 15 e BC = 18. Calcular a bissetriz interna relativa ao ângulo Â.

Resposta

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10m

[bv67]

Ontem tinha travado nessa questão, pois estava visualizando apenas o ângulo Â. Agora, ao pegar novamente vejo que é só aplicar o teorema dos cossenos no ângulo Ĉ do ΔABC, para obter o cos(Ĉ), posteriormente, achar os valores dos lados cortado pela bissetriz na reta BC, assim aplicar novamente o teorema dos cossenos, que obtêm-se o resultado.

Lados cortados na reta BC pela bissetriz no ponto P. Utiliza-se o teorema da bissetriz interna:
[tex3]
\frac{12}{BP}=\frac{15}{(18-BP)} \rightarrow BP = 8 \\ \therefore BP = 8, PC= 10
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]
\frac{12}{BP}=\frac{15}{(18-BP)} \rightarrow BP = 8 \\ \therefore BP = 8, PC= 10
[/tex3]

Teorema dos cossenos no ΔABC, para obter cos(Ĉ):
[tex3]
12^{2} = 18^{2} + 15^{2} - 2\cdot{}18\cdot{}15\cdot{}cos(\hat{C}) \\ \therefore cos(\hat{C}) = \frac{405}{540}
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]
12^{2} = 18^{2} + 15^{2} - 2\cdot{}18\cdot{}15\cdot{}cos(\hat{C}) \\ \therefore cos(\hat{C}) = \frac{405}{540}
[/tex3]

Novamente teorema dos cossenos para obter a reta AP:
[tex3]
AP^{2} = 10^{2} + 15^{2} - 2\cdot{}10\cdot{}15\cdot{}cos(\hat{C}) \\
AP^{2} = 100 + 225 - 300\cdot{}\frac{405}{540}\\
\therefore AP = 10
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]
AP^{2} = 10^{2} + 15^{2} - 2\cdot{}10\cdot{}15\cdot{}cos(\hat{C}) \\
AP^{2} = 100 + 225 - 300\cdot{}\frac{405}{540}\\
\therefore AP = 10
[/tex3]

[Deleted User 23699]

Olá
Existe uma fórmula para calcular isso.
A demonstração dela é basicamente o que você fez para resolver a questão (usamos lei dos cossenos e teorema da bissetriz interna)

Segue a fórmula:
Seja
a = BC
b = AC
c = AB
Ba = bissetriz interna relativa ao ângulo Â
[tex3]\beta_a=\sqrt{bc-\frac{a^2bc}{(b+c)^2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\beta_a=\sqrt{bc-\frac{a^2bc}{(b+c)^2}}[/tex3]

Existem fórmulas semelhantes para as demais cevianas. O livro Geometria II do Augusto Morgado as apresenta, bem como o volume 2 da coleção Elementos da Matemática, do Marcelo Rufino.
Isso é mais para IME/ITA/Olimpíadas...

ABS