IME / ITA ⇒ (Escola Naval 2016) Geometria Plana

[MORANGA]

Um triângulo inscrito em um circulo possui um lado de medida [tex3]2\sqrt[4]{3}[/tex3]

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[tex3]2\sqrt[4]{3}[/tex3]

oposto ao angulo de [tex3]15^{\circ}[/tex3]

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[tex3]15^{\circ}[/tex3]

. O produto do apótema do hexágono regular pelo apótema do Triângulo equilátero inscritos nesse círculo é igual é:

Resposta

---

Resposta: 3 (√3+2)

[Tassandro]

MORANGA,
Veja se você consegue entender:
[tex3](2\sqrt[4]3)^2=2R^2(1+\cos30°)\implies R^2=4(3+2\sqrt3)[/tex3]

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[tex3](2\sqrt[4]3)^2=2R^2(1+\cos30°)\implies R^2=4(3+2\sqrt3)[/tex3]

[tex3]a_6=R\cos60°;a_3=R\sen30°\implies\\
a_6\cdot a_3=R^2\frac{\sqrt3}{4}=\sqrt3(3+2\sqrt3)=3(\sqrt3+2)[/tex3]

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[tex3]a_6=R\cos60°;a_3=R\sen30°\implies\\
a_6\cdot a_3=R^2\frac{\sqrt3}{4}=\sqrt3(3+2\sqrt3)=3(\sqrt3+2)[/tex3]

[pedrolopes]

Essa aí é pesada,temos que achar o raio primeiro. Para isso, podemos usar a lei dos senos aplicada em um triângulo inscrito a uma circunferência, a qual temos [tex3]2R=\frac{x}{\sen\alpha }[/tex3]

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[tex3]2R=\frac{x}{\sen\alpha }[/tex3]

, sendo ''x'' o lado oposto ao ângulo [tex3]\alpha [/tex3]

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[tex3]\alpha [/tex3]

. Mas antes precisamos calcular o seno de 15, isso pode ser feito através da relação [tex3]sen(a-b)=sena.cosb-senb.cosa[/tex3]

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[tex3]sen(a-b)=sena.cosb-senb.cosa[/tex3]

daí faremos [tex3]sen(45-30)=sen45.cos30-sen30.cos45[/tex3]

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[tex3]sen(45-30)=sen45.cos30-sen30.cos45[/tex3]

[tex3]\therefore [/tex3]

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[tex3]\therefore [/tex3]

[tex3]sen15=\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]

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[tex3]sen15=\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]

, então [tex3]sen15=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}[/tex3]

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[tex3]sen15=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}[/tex3]

.
Calculando o raio [tex3]2R=\frac{2\sqrt[4]{3}}{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}[/tex3]

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[tex3]2R=\frac{2\sqrt[4]{3}}{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}[/tex3]

chegaremos em [tex3]R=\frac{4\sqrt[4]{3}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}[/tex3]

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[tex3]R=\frac{4\sqrt[4]{3}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}[/tex3]

, racionalizando, [tex3]\frac{4\sqrt[4]{3}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}.\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}= \frac{4\sqrt[4]{3}(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4} \therefore R= \sqrt[4]{3}(\sqrt{6}+\sqrt{2})[/tex3]

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[tex3]\frac{4\sqrt[4]{3}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}.\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}= \frac{4\sqrt[4]{3}(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4} \therefore R= \sqrt[4]{3}(\sqrt{6}+\sqrt{2})[/tex3]

.
A apótema de um triângulo equilátero inscrito na circunferência é [tex3]\frac{R}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{R}{2}[/tex3]

e a apótema de um hexágono regular também inscrito na circunferência é [tex3]\frac{R\sqrt{3}}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{R\sqrt{3}}{2}[/tex3]

. Se tiver alguma necessidade, eu posso provar essas relações, mas são bem simples de deduzir.
Multiplicando as apótemas [tex3]\frac{R}{2}.\frac{R\sqrt{3}}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{R}{2}.\frac{R\sqrt{3}}{2}[/tex3]

temos [tex3]\frac{R^{2}\sqrt{3}}{4}[/tex3]

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[tex3]\frac{R^{2}\sqrt{3}}{4}[/tex3]

.
Substituindo [tex3]\frac{[\sqrt[4]{3}(\sqrt{6}+\sqrt{2})]^{2}.\sqrt{3}}{4}= \frac{\sqrt[4]{3}.\sqrt[4]{3}.(6+2\sqrt{6}.\sqrt{2}+2).\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}(8+2\sqrt{12})\sqrt{3}}{4}[/tex3]

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[tex3]\frac{[\sqrt[4]{3}(\sqrt{6}+\sqrt{2})]^{2}.\sqrt{3}}{4}= \frac{\sqrt[4]{3}.\sqrt[4]{3}.(6+2\sqrt{6}.\sqrt{2}+2).\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}(8+2\sqrt{12})\sqrt{3}}{4}[/tex3]

, sabendo que [tex3]\sqrt{12}=2\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{12}=2\sqrt{3}[/tex3]

continuamos [tex3]\frac{3(8+4\sqrt{3})}{4}=\frac{3.4(2+\sqrt{3})}{4}= 3(2+\sqrt{3})[/tex3]

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[tex3]\frac{3(8+4\sqrt{3})}{4}=\frac{3.4(2+\sqrt{3})}{4}= 3(2+\sqrt{3})[/tex3]

.

[GauchoEN]

MORANGA,
Veja se você consegue entender:
[tex3](2\sqrt[4]3)^2=2R^2(1+\cos30°)\implies R^2=4(3+2\sqrt3)[/tex3]

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[tex3](2\sqrt[4]3)^2=2R^2(1+\cos30°)\implies R^2=4(3+2\sqrt3)[/tex3]

[tex3]a_6=R\cos60°;a_3=R\sen30°\implies\\
a_6\cdot a_3=R^2\frac{\sqrt3}{4}=\sqrt3(3+2\sqrt3)=3(\sqrt3+2)[/tex3]

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[tex3]a_6=R\cos60°;a_3=R\sen30°\implies\\
a_6\cdot a_3=R^2\frac{\sqrt3}{4}=\sqrt3(3+2\sqrt3)=3(\sqrt3+2)[/tex3]

Irei somente fazer uma correção leve na conta do querido Tassandro

[tex3](2\sqrt[4]3)^2=2R^2(1-\cos30°)\implies R^2=4(3+2\sqrt3)[/tex3]

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[tex3](2\sqrt[4]3)^2=2R^2(1-\cos30°)\implies R^2=4(3+2\sqrt3)[/tex3]

Agora sim! Obrigado pela resolução Tassandro, muito boa!