Pré-Vestibular ⇒ UniAtenas 2018 - Geometria Plana Tópico resolvido

[oilut]

Cartilho foi eleito prefeito da cidade de Circolândia, com a promessa de que iria gramar a praça central denominada de “Centro-Cartim’’, um projeto importante para a história da cidade. Algumas características deste projeto são:

1- Todos os 6 círculos menores possuem raio de 1,5 𝑚.
2 - O círculo 1 é tangente aos círculos de centros, E1, F1 e N.
3 - Os círculos de centros, A, B e C tangenciam o círculo 3.
4- Os círculos de centros, A, B e C se tangenciam dois a dois, conforme figura abaixo.
5- O círculos 3 tangencia os círculos de centros, E1, F1 e N.
6 - O círculo 2 passa pelos pontos E1, F1 e N.
7- Os arcos, E1N, E1 F1 e F1N possuem mesmo comprimento.
8- A área a ser gramada está representada pela parte hachurada na figura.

Cartilho estimou que para cada metro quadrado ele deverá gastar cerca de 𝑅$ 500,00 área construída (se não precisar gramar) ou 𝑅$ 1000,00 para cada metro quadrado a ser gramado (𝑅$ 500,00 da construção mais o acréscimo de 𝑅$ 500,00 para gramar a região). Qual dos valores abaixo mais se aproxima do gasto total da região gramada desta obra? (use [tex3]\sqrt{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

≅1,73 e [tex3]\pi [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\pi [/tex3]

≅3,14). Marque a opção correta:

(A) 𝑅$ 26000,00.
(B) 𝑅$ 35000,00
(C) 𝑅$ 18000,00
(D) 𝑅$ 15000,00
(E) 𝑅$ 20000,00

Resposta

---

(A) 𝑅$ 26000,00.

[petras]

oilut,

Temos:
[tex3]\mathsf{\Delta_{ABC}~é~equilátero: l=3\implies h=\frac{3\sqrt3}{2}\\
OE = \frac{h}{3}=\frac{\sqrt3}{2}=0,865~e~OC = \frac{2h}{3}=\sqrt3=1,73\\
S_{Coroa_1=}\pi(OL^2-OH^2)=\pi((4,5+OC)^2-(3+OC)^2)=3,14(6,23^2-4,73^2)=51,6\\
S_{Grama1}=\frac{S_{Coroa_1}-3.\frac{\pi.1,5^2}{2}}{3}\approx \boxed{13}\\
S_{Coroa2}=\pi(OH^2-OF^2)=\pi(4,73^2-(1,5+1,73)^2)\approx37.5\\
S_{Grama2}=\frac{S_{Coroa_2}-3.\frac{\pi.1,5^2}{2}}{3}\approx \boxed{9}\\
S_{Grama3}=\frac{(\pi.OF^2-3.\pi.1,5^2)}{3}=\frac{32,76-21,19}{3}\approx \boxed{4}\\
\therefore S=S_1+S_2+S_3\approx13+9+4 = 26.1000,00=\boxed{\color{red}26.000,00}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{\Delta_{ABC}~é~equilátero: l=3\implies h=\frac{3\sqrt3}{2}\\
OE = \frac{h}{3}=\frac{\sqrt3}{2}=0,865~e~OC = \frac{2h}{3}=\sqrt3=1,73\\
S_{Coroa_1=}\pi(OL^2-OH^2)=\pi((4,5+OC)^2-(3+OC)^2)=3,14(6,23^2-4,73^2)=51,6\\
S_{Grama1}=\frac{S_{Coroa_1}-3.\frac{\pi.1,5^2}{2}}{3}\approx \boxed{13}\\
S_{Coroa2}=\pi(OH^2-OF^2)=\pi(4,73^2-(1,5+1,73)^2)\approx37.5\\
S_{Grama2}=\frac{S_{Coroa_2}-3.\frac{\pi.1,5^2}{2}}{3}\approx \boxed{9}\\
S_{Grama3}=\frac{(\pi.OF^2-3.\pi.1,5^2)}{3}=\frac{32,76-21,19}{3}\approx \boxed{4}\\
\therefore S=S_1+S_2+S_3\approx13+9+4 = 26.1000,00=\boxed{\color{red}26.000,00}}[/tex3]