Sabendo que [tex3]𝑖^2 = −1[/tex3]
, encontre todos os valores reais de [tex3]x[/tex3]
que satisfazem a seguinte inequação:
[tex3]Re \{\frac{2\log_2\sen(x)+1}{i(e^{2ix})-2\cos^2(x)+1}\}>1[/tex3]
onde [tex3]Re\{𝑍\}[/tex3]
é a parte real do número complexo [tex3]Z[/tex3]
IME / ITA ⇒ IME 2020 (Discursiva) / Inequação Tópico resolvido
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Babi123
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Out 2019
30
12:58
IME 2020 (Discursiva) / Inequação
Editado pela última vez por Babi123 em 30 Out 2019, 13:01, em um total de 1 vez.
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snooplammer
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Out 2019
30
16:40
Re: IME 2020 (Discursiva) / Inequação
Se ninguém fizer, eu passo aqui depois pra postar minha tentativa
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snooplammer
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Nov 2019
04
12:24
Re: IME 2020 (Discursiva) / Inequação
Desculpa a demora, a preguiça acaba com o homem kkkkkk.
A prova do IME sempre cobrando informações de nível superior, como por exemplo, a identidade [tex3]e^{ix}=\cis(x)[/tex3]
Bem, vamos lá
Dei uma olhada na prova, e o [tex3]i[/tex3] tá multiplicado todo o denominador, não só o [tex3]\exp(2ix)[/tex3] , e também a desigualdade é maior do que 0 apenas
Mini nota: [tex3]\exp(x)=e^x[/tex3]
[tex3]Re \bigg\{\frac{2\log_2\sen(x)+1}{i(e^{2ix}-2\cos^2(x)+1)} \bigg \}>0[/tex3]
Bem, vamos começar usando o fato de que [tex3]i=\cis\(90^\circ\)[/tex3] e que [tex3]-2\cos^2(x)=-1-\cos( 2x)[/tex3]
[tex3]Re \bigg\{\frac{2\log_2\sen(x)+1}{\cis\(90^\circ\)( {\color{red} \cos(2x)}+\color{}i\sen(2x) {\color{blue}-1}{\color{red}-\cos(2x)} {\color{blue}+1})} \bigg \}>1[/tex3]
Os termos da mesma cor se cancelam
[tex3]Re \bigg\{\frac{2\log_2\sen(x)+1}{\cis\(90^\circ\)( i\sen(2x))} \bigg \}>0[/tex3]
[tex3]\cis \(90^\circ\)i =i^2=-1[/tex3]
[tex3]Re \bigg\{\frac{2\log_2\sen(x)+1}{-\sen(2x)} \bigg \}>0[/tex3]
E isso equivale a dizer que
[tex3]\frac{2\log_2\sen(x)+1}{\sen(2x)}<0[/tex3]
Vamos separar em casos
Caso I.
[tex3]2\log_2\sen(x)+1>0[/tex3] e [tex3]\sen(2x)<0[/tex3]
Analisando primeiro
[tex3]\log_2\sen^2(x)+1>0[/tex3]
[tex3]\sen^2(x) \in [0,1][/tex3]
[tex3]\log_2 \sen^2(x)>\log_2 2^{-1}[/tex3]
Essa parte é importante, a base é maior do que [tex3]1[/tex3] , então o sinal de desigualdade se mantém
[tex3]\sen^2(x)>\frac{1}{2}[/tex3]
[tex3]2\sen^2(x)-1>0[/tex3]
[tex3]\cos(2x)<0[/tex3]
[tex3]\frac{\pi}{2}< 2x <\frac{3\pi}{2}[/tex3]
[tex3]\frac{\pi}{4}< x <\frac{3\pi}{4} \ (i)[/tex3]
Agora analisando
[tex3]\sen(2x)<0[/tex3]
[tex3]\pi<2x<2\pi[/tex3]
[tex3]\frac{\pi}{2}< x< \pi \ (ii)[/tex3]
Interseção do conjunto [tex3](i) [/tex3] com o [tex3](ii)[/tex3] resulta em:
[tex3]\frac{\pi}{2} +2k\pi< x < \frac{3\pi}{4}+2k\pi[/tex3] com [tex3]k \in \mathbb{Z}[/tex3]
Caso II.
[tex3]2\log_2\sen(x)+1<0[/tex3] e [tex3]\sen(2x)>0[/tex3]
[tex3]\sen^2(x) \in [0,1][/tex3]
[tex3]\log_2 \sen^2(x)<\log_2 2^{-1}[/tex3]
Essa parte é importante, a base é maior do que [tex3]1[/tex3] , então o sinal de desigualdade se mantém
[tex3]\sen^2(x)<\frac{1}{2}[/tex3]
[tex3]2\sen^2(x)-1<0[/tex3]
[tex3]\cos(2x)>0[/tex3]
[tex3]0< 2x <\frac{\pi}{2} \ \cup \ \frac{3\pi}{2} < 2x < 2\pi[/tex3]
[tex3]0< x <\frac{\pi}{4} \ \cup \frac{3\pi}{4}< x < \pi\ \ (iii)[/tex3]
Agora analisando
[tex3]\sen(2x)>0[/tex3]
[tex3]0<2x<\pi[/tex3]
[tex3]0< x< \frac{\pi}{2} \ (iv)[/tex3]
Interseção do conjunto [tex3](iii) [/tex3] com o [tex3](iv)[/tex3] resulta em:
[tex3]\frac{\pi}{2} +2k\pi< x < \frac{3\pi}{4}+2k\pi[/tex3] com [tex3]k \in \mathbb{Z}[/tex3] e [tex3]2k\pi< x< \frac{\pi}{4}+2k\pi[/tex3] com [tex3]k \in \mathbb{Z}[/tex3]
Mas, veja que [tex3]\frac{\pi}{2} +2k\pi< x < \frac{3\pi}{4}+2k\pi[/tex3] se repete nos 2 casos, então o conjunto solução será
[tex3]S=\bigg\{x \in \mathbb{R} \ | \ 2k\pi< x< \frac{\pi}{4}+2k\pi \ \text{ou} \ \frac{\pi}{2} +2k\pi< x < \frac{3\pi}{4}+2k\pi \bigg\}[/tex3]
Acredito que seja isso
A prova do IME sempre cobrando informações de nível superior, como por exemplo, a identidade [tex3]e^{ix}=\cis(x)[/tex3]
Bem, vamos lá
Dei uma olhada na prova, e o [tex3]i[/tex3] tá multiplicado todo o denominador, não só o [tex3]\exp(2ix)[/tex3] , e também a desigualdade é maior do que 0 apenas
Mini nota: [tex3]\exp(x)=e^x[/tex3]
[tex3]Re \bigg\{\frac{2\log_2\sen(x)+1}{i(e^{2ix}-2\cos^2(x)+1)} \bigg \}>0[/tex3]
Bem, vamos começar usando o fato de que [tex3]i=\cis\(90^\circ\)[/tex3] e que [tex3]-2\cos^2(x)=-1-\cos( 2x)[/tex3]
[tex3]Re \bigg\{\frac{2\log_2\sen(x)+1}{\cis\(90^\circ\)( {\color{red} \cos(2x)}+\color{}i\sen(2x) {\color{blue}-1}{\color{red}-\cos(2x)} {\color{blue}+1})} \bigg \}>1[/tex3]
Os termos da mesma cor se cancelam
[tex3]Re \bigg\{\frac{2\log_2\sen(x)+1}{\cis\(90^\circ\)( i\sen(2x))} \bigg \}>0[/tex3]
[tex3]\cis \(90^\circ\)i =i^2=-1[/tex3]
[tex3]Re \bigg\{\frac{2\log_2\sen(x)+1}{-\sen(2x)} \bigg \}>0[/tex3]
E isso equivale a dizer que
[tex3]\frac{2\log_2\sen(x)+1}{\sen(2x)}<0[/tex3]
Vamos separar em casos
Caso I.
[tex3]2\log_2\sen(x)+1>0[/tex3] e [tex3]\sen(2x)<0[/tex3]
Analisando primeiro
[tex3]\log_2\sen^2(x)+1>0[/tex3]
[tex3]\sen^2(x) \in [0,1][/tex3]
[tex3]\log_2 \sen^2(x)>\log_2 2^{-1}[/tex3]
Essa parte é importante, a base é maior do que [tex3]1[/tex3] , então o sinal de desigualdade se mantém
[tex3]\sen^2(x)>\frac{1}{2}[/tex3]
[tex3]2\sen^2(x)-1>0[/tex3]
[tex3]\cos(2x)<0[/tex3]
[tex3]\frac{\pi}{2}< 2x <\frac{3\pi}{2}[/tex3]
[tex3]\frac{\pi}{4}< x <\frac{3\pi}{4} \ (i)[/tex3]
Agora analisando
[tex3]\sen(2x)<0[/tex3]
[tex3]\pi<2x<2\pi[/tex3]
[tex3]\frac{\pi}{2}< x< \pi \ (ii)[/tex3]
Interseção do conjunto [tex3](i) [/tex3] com o [tex3](ii)[/tex3] resulta em:
[tex3]\frac{\pi}{2} +2k\pi< x < \frac{3\pi}{4}+2k\pi[/tex3] com [tex3]k \in \mathbb{Z}[/tex3]
Caso II.
[tex3]2\log_2\sen(x)+1<0[/tex3] e [tex3]\sen(2x)>0[/tex3]
[tex3]\sen^2(x) \in [0,1][/tex3]
[tex3]\log_2 \sen^2(x)<\log_2 2^{-1}[/tex3]
Essa parte é importante, a base é maior do que [tex3]1[/tex3] , então o sinal de desigualdade se mantém
[tex3]\sen^2(x)<\frac{1}{2}[/tex3]
[tex3]2\sen^2(x)-1<0[/tex3]
[tex3]\cos(2x)>0[/tex3]
[tex3]0< 2x <\frac{\pi}{2} \ \cup \ \frac{3\pi}{2} < 2x < 2\pi[/tex3]
[tex3]0< x <\frac{\pi}{4} \ \cup \frac{3\pi}{4}< x < \pi\ \ (iii)[/tex3]
Agora analisando
[tex3]\sen(2x)>0[/tex3]
[tex3]0<2x<\pi[/tex3]
[tex3]0< x< \frac{\pi}{2} \ (iv)[/tex3]
Interseção do conjunto [tex3](iii) [/tex3] com o [tex3](iv)[/tex3] resulta em:
[tex3]\frac{\pi}{2} +2k\pi< x < \frac{3\pi}{4}+2k\pi[/tex3] com [tex3]k \in \mathbb{Z}[/tex3] e [tex3]2k\pi< x< \frac{\pi}{4}+2k\pi[/tex3] com [tex3]k \in \mathbb{Z}[/tex3]
Mas, veja que [tex3]\frac{\pi}{2} +2k\pi< x < \frac{3\pi}{4}+2k\pi[/tex3] se repete nos 2 casos, então o conjunto solução será
[tex3]S=\bigg\{x \in \mathbb{R} \ | \ 2k\pi< x< \frac{\pi}{4}+2k\pi \ \text{ou} \ \frac{\pi}{2} +2k\pi< x < \frac{3\pi}{4}+2k\pi \bigg\}[/tex3]
Acredito que seja isso
Editado pela última vez por snooplammer em 04 Nov 2019, 12:26, em um total de 1 vez.
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Nov 2019
04
14:08
Re: IME 2020 (Discursiva) / Inequação
Poxa mil perdão por esse vacilo. Não sei como escrevi assim...snooplammer escreveu: ↑04 Nov 2019, 12:24o [tex3]i[/tex3] tá multiplicando todo o denominador, não só o [tex3]\exp(2ix)[/tex3] , e também a desigualdade é maior do que 0
Vou estudar sua solução. Obgda pelo retorno!
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