Pré-Vestibular ⇒ UniAtenas (Trigonometria) Tópico resolvido

[reznor]

Pitágoras decidiu homenagear dois de seus discípulos doando seu sítio preferido. Ele então define a divisão a partir do maior ângulo ficando para o discípulo mais novo 1/3 do ângulo reto, como mostra a figura. Usando as aproximações [tex3]\sqrt{3}=1,7[/tex3]

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[tex3]\sqrt{3}=1,7[/tex3]

e [tex3]\sqrt{5}=2,2[/tex3]

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[tex3]\sqrt{5}=2,2[/tex3]

e sabendo que [tex3]AB=\sqrt{5}km[/tex3]

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[tex3]AB=\sqrt{5}km[/tex3]

e que AC = 2km, qual a área destinada ao discípulo mais novo?

7af8a9bac353e6edd88b7f71c27dfb9c.png (10.86 KiB) Exibido 1264 vezes

A) 0,25 km2
B) 0,45 km2
C) 0,75 km2
D) 1,29 km2
E) 1,49 km2

Resposta

---

c

[Planck]

Olá reznor,

Inicialmente, pelo Teorema de Pitágoras, podemos determinar que o lado [tex3]\overline{\text{BC}}[/tex3]

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[tex3]\overline{\text{BC}}[/tex3]

tem comprimento de [tex3]\text{3 [km]}[/tex3]

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[tex3]\text{3 [km]}[/tex3]

. A área total do triângulo maior é de [tex3]\sqrt {5} ~[\text{km}^2][/tex3]

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[tex3]\sqrt {5} ~[\text{km}^2][/tex3]

. A altura do triângulo [tex3]\triangle {\text{ACQ}}[/tex3]

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[tex3]\triangle {\text{ACQ}}[/tex3]

, considerando o lado [tex3]\overline{\text{QC}}[/tex3]

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[tex3]\overline{\text{QC}}[/tex3]

com base, é definida por [tex3]\overline{\text{AP}} \perp \overline{\text{BC}} \ | \ \text{P} \cup \overline{\text{BC}} [/tex3]

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[tex3]\overline{\text{AP}} \perp \overline{\text{BC}} \ | \ \text{P} \cup \overline{\text{BC}} [/tex3]

. Assim, [tex3]\overline{\text{AP}}[/tex3]

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[tex3]\overline{\text{AP}}[/tex3]

pode ser encontrado calculando a área do triângulo maior com relação ao lado de [tex3]\text{3 [km]}[/tex3]

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[tex3]\text{3 [km]}[/tex3]

:

[tex3]\text{A} = \frac{\overline{\text{AP}} \cdot \overline{\text{BC}}}{2} \, \, \iff \sqrt {5} = \frac{\overline{\text{AP}} \cdot {3}}{2} \, \, \implies \, \,\overline{\text{AP}} = \frac{2 \sqrt {5}}{3} [/tex3]

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[tex3]\text{A} = \frac{\overline{\text{AP}} \cdot \overline{\text{BC}}}{2} \, \, \iff \sqrt {5} = \frac{\overline{\text{AP}} \cdot {3}}{2} \, \, \implies \, \,\overline{\text{AP}} = \frac{2 \sqrt {5}}{3} [/tex3]

Podemos inferir que [tex3]\overline{\text{QC}} = 1[/tex3]

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[tex3]\overline{\text{QC}} = 1[/tex3]

. Com isso, podemos fazer que:

[tex3]\text{A'} = \frac{\overline{\text{QC}} \cdot \overline{\text{AP}}}{2} \, \, \iff \text{A'} = \frac{1 \cdot \frac{2 \cdot \sqrt{5}}{3}{}}{2} \, \, \implies \, \, {\color{forestgreen} \boxed{^{{⠀}^{⠀}}\text{A'} =\frac{\sqrt {5}^{{⠀}^{⠀}}}{3}_{_{{⠀}_{⠀}}} \approx 0,75 ~[\text{km}^2] } }[/tex3]

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[tex3]\text{A'} = \frac{\overline{\text{QC}} \cdot \overline{\text{AP}}}{2} \, \, \iff \text{A'} = \frac{1 \cdot \frac{2 \cdot \sqrt{5}}{3}{}}{2} \, \, \implies \, \, {\color{forestgreen} \boxed{^{{⠀}^{⠀}}\text{A'} =\frac{\sqrt {5}^{{⠀}^{⠀}}}{3}_{_{{⠀}_{⠀}}} \approx 0,75 ~[\text{km}^2] } }[/tex3]

[reznor]

Por que [tex3]QC=1[/tex3]

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[tex3]QC=1[/tex3]

?

[Planck]

Por que [tex3]QC=1[/tex3]

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[tex3]QC=1[/tex3]

?

Vamos definir que [tex3]\angle {\text{CBA}} = \alpha[/tex3]

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[tex3]\angle {\text{CBA}} = \alpha[/tex3]

e [tex3]\angle {\text{BCA}} = \beta[/tex3]

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[tex3]\angle {\text{BCA}} = \beta[/tex3]

. Pelo triângulo maior, temos que [tex3]\sen \alpha = \frac{2}{3}[/tex3]

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[tex3]\sen \alpha = \frac{2}{3}[/tex3]

e [tex3]\sen \beta = \frac{\sqrt 5}{3}[/tex3]

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[tex3]\sen \beta = \frac{\sqrt 5}{3}[/tex3]

. Vamos definir que [tex3]\overline{\text{BQ}} = y[/tex3]

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[tex3]\overline{\text{BQ}} = y[/tex3]

. Portanto, no triângulo da esquerda, pela Lei dos Senos:

[tex3]\frac{y}{\sen 60º} = \frac{\overline{\text{AQ}}}{\sen \alpha} \, \, \implies \, \, \overline{\text{AQ}} = \frac{y \cdot \sen \alpha }{\sen 60º} [/tex3]

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[tex3]\frac{y}{\sen 60º} = \frac{\overline{\text{AQ}}}{\sen \alpha} \, \, \implies \, \, \overline{\text{AQ}} = \frac{y \cdot \sen \alpha }{\sen 60º} [/tex3]

Para o triângulo da direita:

[tex3]\frac{3-y}{\sen 30º} = \frac{\overline{\text{AQ}}}{\sen \beta} \, \, \implies \, \, \overline{\text{AQ}} = \frac{(3-y) \cdot \sen \beta}{\sen 30º} [/tex3]

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[tex3]\frac{3-y}{\sen 30º} = \frac{\overline{\text{AQ}}}{\sen \beta} \, \, \implies \, \, \overline{\text{AQ}} = \frac{(3-y) \cdot \sen \beta}{\sen 30º} [/tex3]

Logo, podemos fazer que:

[tex3]\frac{y \cdot \sen \alpha }{\sen 60º} = \frac{(3-y) \cdot \sen \beta}{\sen 30º} \, \, \implies \frac{y \cdot \frac{2}{3}}{\frac{\sqrt 3}{2}} = \frac{(3-y) \cdot \frac{\sqrt 5}{3}}{\frac{1}{2}} \, \, \implies \, \, \frac{y}{3} = \frac{(3-y) \cdot \sqrt 3 \cdot \sqrt 5}{6}[/tex3]

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[tex3]\frac{y \cdot \sen \alpha }{\sen 60º} = \frac{(3-y) \cdot \sen \beta}{\sen 30º} \, \, \implies \frac{y \cdot \frac{2}{3}}{\frac{\sqrt 3}{2}} = \frac{(3-y) \cdot \frac{\sqrt 5}{3}}{\frac{1}{2}} \, \, \implies \, \, \frac{y}{3} = \frac{(3-y) \cdot \sqrt 3 \cdot \sqrt 5}{6}[/tex3]

De onde tiramos que:

[tex3]y = \frac{(3-y) \cdot 1,7 \cdot2,2}{2} \, \, \implies \, \, y = (3- y) \cdot 1,7 \cdot 1,1 \, \, \implies y = 5,61 - 1,87 \cdot y \, \, \implies \, \, y \approx 2[/tex3]

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[tex3]y = \frac{(3-y) \cdot 1,7 \cdot2,2}{2} \, \, \implies \, \, y = (3- y) \cdot 1,7 \cdot 1,1 \, \, \implies y = 5,61 - 1,87 \cdot y \, \, \implies \, \, y \approx 2[/tex3]

Assim, obtemos que:

[tex3]\overline{\text{BC}} = 3-y \, \, \implies \overline{\text{BC}} \approx 1[/tex3]

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[tex3]\overline{\text{BC}} = 3-y \, \, \implies \overline{\text{BC}} \approx 1[/tex3]