Olá! No
item I o certo é [tex3]\begin{pmatrix}
x \\
y \\
\end{pmatrix}[/tex3]
e [tex3]\begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
\end{pmatrix}[/tex3]
, sendo assim, temos que a multiplicação entre a matriz A e [tex3]\begin{pmatrix}
x \\
y \\
\end{pmatrix}[/tex3]
resulta em: [tex3]\begin{pmatrix}
2x-y \\
x+y \\
\end{pmatrix}[/tex3]
, sendo esse resultado igual a [tex3]\begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
\end{pmatrix}[/tex3]
, ficamos com:
2x-y=1 e
x+y=2
Somando essas equações, encontramos x=-1 e y=3, ou seja, só existe uma solução.
Item I verdadeiro!
Item II
Temos que o determinante de A é igual a 3. Porém, não existe um ângulo cujo seno resulta em 3 ( o valor máximo para seno é 1). Logo,
Item II falso.
Item III
Uma matriz é invertível quando seu determinante é diferente de zero. Não sei provar que o determinante de [tex3]A^{100}[/tex3]
será mesmo igual a 0, eu deduzi que sim.
Logo, essa assertiva é
verdadeira.
Item IV
Mas uma observação: tem certeza que [tex3]A^{3}[/tex3]
.B =1 e não igual a I, que é a matriz identidade?
Vou considerar a segunda possibilidade.
Quando multiplicamos uma matriz pela sua inversa, ficamos com uma matriz identidade de mesma ordem das duas outras matrizes, no caso de ordem 2.
Pela propriedade dos determinantes, o determinante da inversa de uma matriz é igual ao inverso do determinante dela. Ou seja, se o determinante de A fosse 9, o determinante de B = [tex3]A^{-1}[/tex3]
seria igual a [tex3]\frac{1}{9}[/tex3]
.
Porém o determinante de [tex3]A^{3}[/tex3]
não é igual a 9, mas sim igual a [tex3]3^{3}[/tex3]
= 27. Pois, det ([tex3]A^{n}[/tex3]
) = [tex3](detA)^{n}[/tex3]
. Esse é o erro dessa assertiva!
Espero ter ajudado!
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