A um tempo atrás eu prometi a demonstração desse teorema mas no processo acabei descobrindo coisas bem interessantes que compartilharei com os senhores! Peço que compartilhem o máximo pois quase não há informações sobre o que será passado aqui. Vamos começar essa pimbada de geometria!
Pela imagem temos como constantes AB=a, BC=b, AC=c, BD=k e AbC=teta/2
Demonstração 1
Seja [tex3]p[/tex3]
, [tex3]p_1[/tex3]
e [tex3]p_2[/tex3]
os semi-perímetros dos triângulos [tex3]ABC[/tex3]
, [tex3]ABD[/tex3]
e [tex3]BCD[/tex3]
, respectivamente, então valerá a seguinte relação: [tex3]p_1+p_2 = p+ x[/tex3]
[tex3]p_1=\frac{x+b+DC}{2}[/tex3]
[tex3]p_2=\frac{x+a+AD}{2}[/tex3]
Sabendo-se que [tex3]AD+DC=c [/tex3]
e somando as duas, demonstramos a primeira relação
[tex3]p_1+p_2=p+x [/tex3]
Que será o nosso Eureka para vislumbrar as próximo duas
Demonstração 2
[tex3]k=\sqrt{p(p-c)} [/tex3]
Primeiramente trace as perpendicular cujos pés são M,N,P e L como no desenho
Repare que [tex3]AN=p_1-x[/tex3]
e que [tex3]AM=p-x [/tex3]
Por semelhança temos:
[tex3]\frac{r}{R} =\frac{p_1-x}{p-b}[/tex3]
tal que
[tex3]r(p-b)=R(p_1-x)[/tex3]
Repare agora que [tex3]PC=p-a [/tex3]
e [tex3]LC=p_2-x [/tex3]
De novo por semelhança:
[tex3]\frac{r}{R} =\frac{p_2-x}{p-a} [/tex3]
Tal que [tex3]r(p-a)=R(p_2-x) [/tex3]
Somando as duas equações chegamos em uma coisa muito legal
[tex3]r(2p-a-b)= R(p_1+p_2-2x) [/tex3]
Simplificando chegamos em
[tex3]r\cdot c=R(p-x) [/tex3]
vamos guardar isso !!
Vale lembrar que [tex3]p\cdot R=r(p_1+p_2) [/tex3]
relação das áreas
Mas [tex3](p_1+p_2)=p+x[/tex3]
substituindo na equação anterior chegamos em [tex3]r=\frac{Rp}{p+x} [/tex3]
substituindo na anterior provamos nossa tese 2
Demonstração 3 [tex3]S=k^2 \tg\(\frac{AbC}{2}\)[/tex3]
Como [tex3]k^2=p(p-c) [/tex3]
Temos pelo teorema das tangentes que [tex3](p-c)=R\cdot\cotg\(\frac{AbC}{2}\)[/tex3]
então [tex3]k^2=p\cdot R\cdot \cotg [/tex3]
mas pR=S e daí provamos nossa terceira tese!
PS: vão se danar sangakus!!!
Demonstrações ⇒ Circunferências Côngruas Inscritas em um Triângulo Tangentes a uma Ceviana
- jvmago
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Mar 2019
01
19:00
Circunferências Côngruas Inscritas em um Triângulo Tangentes a uma Ceviana
Editado pela última vez por caju em 01 Mar 2019, 20:12, em um total de 6 vezes.
Razão: arrumar tex.
Razão: arrumar tex.
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
- jvmago
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Mar 2019
01
19:13
Re: Circunferências Côngruas Inscritas em um Triângulo Tangentes a uma Ceviana
Agora está arrumado e legível
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
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