Ensino Médio ⇒ Desigualdades Elementares Tópico resolvido

[guiaguiarsan]

Sendo x um numero real positivo o menor valor de 5x+[tex3]\frac{16}{x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{16}{x}[/tex3]

+21 é

Seria possível fazer por desigualdades de médias?

Resposta

---

21+8 [tex3]\sqrt{5}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{5}[/tex3]

[MateusQqMD]

Seja [tex3]E = 5x + \frac{16}{x} + 21[/tex3]

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[tex3]E = 5x + \frac{16}{x} + 21[/tex3]

O menor valor de E ocorre quando [tex3]5x + \frac{16}{x} [/tex3]

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[tex3]5x + \frac{16}{x} [/tex3]

assumi seu valor mínimo.

Pela desigualdade das médias,

[tex3]\frac{5x + \frac{16}{x}}{2} \geq \sqrt { 5x \cdot \frac{16}{x}}[/tex3]

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[tex3]\frac{5x + \frac{16}{x}}{2} \geq \sqrt { 5x \cdot \frac{16}{x}}[/tex3]

[tex3]5x + \frac{16}{x} \geq 2\sqrt { 5\cancel{x} \cdot \frac{16}{\cancel{x}}}[/tex3]

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[tex3]5x + \frac{16}{x} \geq 2\sqrt { 5\cancel{x} \cdot \frac{16}{\cancel{x}}}[/tex3]

[tex3]5x + \frac{16}{x} \geq 8\sqrt { 5 }[/tex3]

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[tex3]5x + \frac{16}{x} \geq 8\sqrt { 5 }[/tex3]

Portanto,

[tex3]E \geq 21 + 8\sqrt { 5 } [/tex3]

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[tex3]E \geq 21 + 8\sqrt { 5 } [/tex3]

[guiaguiarsan]

Por que o 21 sumiu? Toda vez que um coeficiente não estiver sendo multiplicado pelo termo x; ele irá sumir?

[MateusQqMD]

O 21 não sumiu, mas como apenas os termos [tex3]5x + \frac{16}{x} [/tex3]

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[tex3]5x + \frac{16}{x} [/tex3]

são capazes de variar o valor de E, apenas eles que eu analisei. O 21 é "fixo", por isso eu apliquei MA MG apenas para o restante

[guiaguiarsan]

Faz sentido! Obrigado pela explicação!