Concursos Públicos ⇒ Geometria Plana - Semelhança entre Triângulos Tópico resolvido

[carlosalves10]

Na figura a seguir, o triângulo ABC é dividido pelo segmento DE, paralelo ao lado AB, em duas áreas: Área I e Área II.

A Área I corresponde ao triângulo CDE e a Área II ao quadrilátero ABED. Os pontos D e E pertencem aos lados AC e BC, respectivamente. Sabe-se que as medidas da Área I e II são iguais.

Logo, se o perímetro do triângulo CDE é igual a 15 cm, então, o perímetro do triângulo ABC é igual a

A) 30 cm.
B) 60 cm.
C) 15 √2 cm.
D) 30 √2cm.

[jomatlove]

Resolução
Area I:[tex3]S_{1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S_{1}[/tex3]

Area II:[tex3]S_{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S_{2}[/tex3]

Perimetro do triangulo CDE=15
Perimetro do triangulo ABC=x
Também:[tex3]S_{1}=S_{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S_{1}=S_{2}[/tex3]

Por propriedade:
[tex3]\frac{S_{1}}{S_{1}+S_{2}}=
(\frac{15}{x})^{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{S_{1}}{S_{1}+S_{2}}=
(\frac{15}{x})^{2}[/tex3]

[tex3]\frac{S_{1}}{2S_{1}}=
\frac{225}{x^{2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{S_{1}}{2S_{1}}=
\frac{225}{x^{2}}[/tex3]

[tex3]\frac{1}{2}=\frac{225}{x^{2}}
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{2}=\frac{225}{x^{2}}
[/tex3]

[tex3]x^{2}=2.225[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^{2}=2.225[/tex3]

[tex3]x=\sqrt{2.225}[/tex3]

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[tex3]x=\sqrt{2.225}[/tex3]

[tex3]x=15\sqrt{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=15\sqrt{2}[/tex3]

[carlosalves10]

E ai blza?
Que propriedade é essa?

Seria

A razão entre as áreas é igual a razão entre os perímetros ao quadrado...???

[jomatlove]

Ola!
Sim,isso mesmo.
...entre os perimetros ao quadrado;
Entre os lados ao quadrado
Entre as alturas ao quadrado
De modo geral:
A razao entre as areas de dois triangulos
semelhantes é igual ao quadrado da razao de dois elementos homologos quaisquer:lados,alturas,perimetros,mediana,bissetrizes,....