Olimpíadas ⇒ Equação (OIM 1985) Tópico resolvido

[Hanon]

(OIM 1985) Encontrar as raízes [tex3]r_{1}, \ r_{2}, \ r_{3}, \ r_{4}[/tex3]

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[tex3]r_{1}, \ r_{2}, \ r_{3}, \ r_{4}[/tex3]

da equação:
[tex3]4x^{4}-ax^{3}+bx^{2}-cx+5=0[/tex3]

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[tex3]4x^{4}-ax^{3}+bx^{2}-cx+5=0[/tex3]

sabendo que são reais positivos e que [tex3]\frac{r_{1}}{2}+\frac{r_{2}}{4}+\frac{r_{3}}{5}+\frac{r_{4}}{8}=1[/tex3]

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[tex3]\frac{r_{1}}{2}+\frac{r_{2}}{4}+\frac{r_{3}}{5}+\frac{r_{4}}{8}=1[/tex3]

Gabarito: [tex3]r_{1}=172, \ r_{2}=1, \ r_{3}=\frac{5}{4}, \ r_{4}=2[/tex3]

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[tex3]r_{1}=172, \ r_{2}=1, \ r_{3}=\frac{5}{4}, \ r_{4}=2[/tex3]

[Ittalo25]

como são reais positivos dá pra usar a desigualdade de médias

[tex3]\frac{r_{1}}{2}+\frac{r_{2}}{4}+\frac{r_{3}}{5}+\frac{r_{4}}{8}\geq 4\sqrt[4]{\frac{r_1\cdot r_2 \cdot r_3\cdot r_4 \cdot r_5}{2\cdot 4\cdot 5 \cdot 8}}[/tex3]

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[tex3]\frac{r_{1}}{2}+\frac{r_{2}}{4}+\frac{r_{3}}{5}+\frac{r_{4}}{8}\geq 4\sqrt[4]{\frac{r_1\cdot r_2 \cdot r_3\cdot r_4 \cdot r_5}{2\cdot 4\cdot 5 \cdot 8}}[/tex3]

[tex3]1 \geq 4\sqrt[4]{\frac{\frac{5}{4}}{2\cdot 4\cdot 5 \cdot 8}}[/tex3]

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[tex3]1 \geq 4\sqrt[4]{\frac{\frac{5}{4}}{2\cdot 4\cdot 5 \cdot 8}}[/tex3]

[tex3]1 \geq 1[/tex3]

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[tex3]1 \geq 1[/tex3]

portanto [tex3]\frac{r_{1}}{2}=\frac{r_{2}}{4}=\frac{r_{3}}{5}=\frac{r_{4}}{8}[/tex3]

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[tex3]\frac{r_{1}}{2}=\frac{r_{2}}{4}=\frac{r_{3}}{5}=\frac{r_{4}}{8}[/tex3]

de onde sai: [tex3]r_{1}=\frac{1}{2}, \ r_{2}=1, \ r_{3}=\frac{5}{4}, \ r_{4}=2[/tex3]

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[tex3]r_{1}=\frac{1}{2}, \ r_{2}=1, \ r_{3}=\frac{5}{4}, \ r_{4}=2[/tex3]

[Hanon]

Ótimo Ittalo25, valeu!