Física III ⇒ Demonstração Lei de Coulomb Tópico resolvido

[Auto Excluído (ID:18124)]

Como demonstrar a fórmula [tex3]F_e=\frac{k|Q||q|}{d^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]F_e=\frac{k|Q||q|}{d^2}[/tex3]

sendo k a constante eletrostática dada por [tex3]k=\frac{1}{4\pi \epsilon _0}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]k=\frac{1}{4\pi \epsilon _0}[/tex3]

e [tex3]\epsilon [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\epsilon [/tex3]

a permissividade elétrica do vácuo. Aliás como se chega a essa expressão do k?

[jrneliodias]

Olá, Odin.

Essa fórmula é experimental. Então foi feito experimentos para chegar nesse valor. Acredito que a constante é uma aproximação. Um valor que foi obtido em cada experimento.

[undefinied3]

Teoricamente da pra deduzir pela lei de Gauss. Tomando uma superfície gaussiana esférica, temos as condições de simetria necessárias para eliminar a integral de maneira fácil.

[tex3]\oint \vec{E}.d\vec{A}=\frac{q}{\epsilon} \rightarrow E \oint dA=\frac{q}{\epsilon} \rightarrow E.4\pi r^2=\frac{q}{\epsilon}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\oint \vec{E}.d\vec{A}=\frac{q}{\epsilon} \rightarrow E \oint dA=\frac{q}{\epsilon} \rightarrow E.4\pi r^2=\frac{q}{\epsilon}[/tex3]

[tex3]\therefore E=\frac{1}{4\pi \epsilon} \frac{q}{r^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\therefore E=\frac{1}{4\pi \epsilon} \frac{q}{r^2}[/tex3]

Daí, definimos [tex3]k=\frac{1}{4\pi \epsilon}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]k=\frac{1}{4\pi \epsilon}[/tex3]

. Para a força, temos simplesmente [tex3]F=q'E[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]F=q'E[/tex3]

, de modo que chegamos ao resultado
[tex3]F=\frac{k q q'}{r^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]F=\frac{k q q'}{r^2}[/tex3]

Mas historicamente realmente foi deduzida experimentalmente. A dedução a partir da Lei de Gauss apenas confirma a fórmula.

[LucasPinafi]

A lei de Coulomb não é uma lei básica do eletromagnetismo. Nesse caso, a lei básica é a lei de Gauss a qual pode ser derivada a lei de Coulomb:
[tex3]\oint \vec E \cdot d\vec A = \frac{q}{\varepsilon_0 }[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\oint \vec E \cdot d\vec A = \frac{q}{\varepsilon_0 }[/tex3]

Tomando o campo elétrico por uma carga puntiforme e uma esfera de raio R, temos que [tex3]\vec E[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\vec E[/tex3]

é constante em cada ponto da esfera (é sempre paralelo ao raio e possui mesmo módulo):
[tex3]\oint E dA = \frac q {\varepsilon_0} \Longrightarrow E \int dA = \frac q {\varepsilon_0} \Longrightarrow E(4\pi R^2 ) = \frac{q} {\varepsilon_0} \Longrightarrow E = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 R^2} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\oint E dA = \frac q {\varepsilon_0} \Longrightarrow E \int dA = \frac q {\varepsilon_0} \Longrightarrow E(4\pi R^2 ) = \frac{q} {\varepsilon_0} \Longrightarrow E = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 R^2} [/tex3]

Agora, [tex3]F = Eq _0 = \frac{qq_0}{4\pi \varepsilon_0 R^2}= k \frac{qq_0} {R^2} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]F = Eq _0 = \frac{qq_0}{4\pi \varepsilon_0 R^2}= k \frac{qq_0} {R^2} [/tex3]

[LucasPinafi]

rs, não tinha visto que o maninho tinha escrito em cima
edit: falando em aspectos históricos, a lei de Coulomb não era muito segura no expoente 2 na fórmula, pois os métodos de determinação de forças é muito complicado. Assim, na época era algo como [tex3]2 + \epsilon [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2 + \epsilon [/tex3]

com esse [tex3]\epsilon [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\epsilon [/tex3]

menor do que 1 em uma parte em mil. Hoje em dia já consegue, com a ajuda da Lei de Gauss, que [tex3]\epsilon < 10^{-15}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\epsilon < 10^{-15}[/tex3]

se não me engano (é um valor incrivelmente preciso). Assim, hoje temos a segurança de ser realmente 2 na lei de Coulomb

[Auto Excluído (ID:18124)]

Obrigado pelas respostas!

[Andre13000]

A lei de gauss também é experimental, mas é realmente mais geral.

[joaopcarv]

undefinied3 e LucasPinafi, geniais a Lei de Gauss é cobrada nos exames militares?

[undefinied3]

Honestamente, não é não, mas as turmas ITA/IME gostam de dar o curso de elétrica igual ao que se tem na faculdade, então a gente acaba aprendendo antes da hora. É mais pra treinar raciocínio e sacadas, as questões de Lei de Gauss ou Lei de Ampere são todas pra você achar alguma simetria escondida e conseguir montar uma integral que não precise propriamente integrar nada além de uma área trivial.

[joaopcarv]

Honestamente, não é não, mas as turmas ITA/IME gostam de dar o curso de elétrica igual ao que se tem na faculdade, então a gente acaba aprendendo antes da hora. É mais pra treinar raciocínio e sacadas, as questões de Lei de Gauss ou Lei de Ampere são todas pra você achar alguma simetria escondida e conseguir montar uma integral que não precise propriamente integrar nada além de uma área trivial.

Entendo... então as turmas ITA/IME passam mais ou menos o noções completas do curso de cálculo (tipo, pelo menos as noções de derivada, primitiva, integral, limites, integral de linha, etc). Eu lembro que, no cursinho, o prof de fís falou que pro ITA (que não é a minha turma) cai mais alguns tipos de campos em outras "coisas", como uns solenoides doidos, umas calotas esféricas, etc. No caso, vcs do ITA decoram isso ou é necessário / viável usar a generalização de campo (eu acho que é algo do tipo : integral de um campo = permissividade do meio vezes corrente)...
Eu penso em fazer a turma ITA/IME se não passar agora (bate na madeira kkkk) mas acho que pra Politécnica é coisa demais, né? Ou faz sentido de fazer?