Pré-Vestibular ⇒ (FUVEST) Geometria Plana: Quadriláteros

[naty_naty_n]

Na figura seguinte, os quadrados [tex3]ABCD[/tex3]

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[tex3]ABCD[/tex3]

e [tex3]EFGH[/tex3]

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[tex3]EFGH[/tex3]

têm ambos, lado [tex3]a[/tex3]

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[tex3]a[/tex3]

e centro [tex3]O.[/tex3]

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[tex3]O.[/tex3]

Se [tex3]\bar{EP}=1,[/tex3]

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[tex3]\bar{EP}=1,[/tex3]

então [tex3]a[/tex3]

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[tex3]a[/tex3]

é:

a) [tex3]\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}[/tex3]

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[tex3]\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}[/tex3]

b) [tex3]\frac{2}{\sqrt{3}-1}[/tex3]

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[tex3]\frac{2}{\sqrt{3}-1}[/tex3]

c) [tex3]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]

d) [tex3]2[/tex3]

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[tex3]2[/tex3]

e) [tex3]\frac{2}{\sqrt{2}-1}[/tex3]

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[tex3]\frac{2}{\sqrt{2}-1}[/tex3]

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[Thadeu]

[tex3]EG[/tex3]

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[tex3]EG[/tex3]

é a diagonal do quadrado de lado [tex3]a,[/tex3]

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[tex3]a,[/tex3]

então ela mede:
[tex3]d^2=a^2+a^2\,\Rightarrow\,d^2=2a^2\,\Rightarrow\,d=a\,\sqrt{a}[/tex3]

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[tex3]d^2=a^2+a^2\,\Rightarrow\,d^2=2a^2\,\Rightarrow\,d=a\,\sqrt{a}[/tex3]

Olhando a figura, o lado do quadrado tem a medida igual à diagonal menos 2 vezes o valor de [tex3]EP,[/tex3]

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[tex3]EP,[/tex3]

então:

[tex3]a=d-2(1)\,\Rightarrow\,a=a\,\sqrt{2}-2\,\Rightarrow\,a\sqrt{2}-a=2\,\Rightarrow\,a(\sqrt{2}-1)=2\,\Rightarrow\,a=\frac{2}{\sqrt{2}-1}[/tex3]

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[tex3]a=d-2(1)\,\Rightarrow\,a=a\,\sqrt{2}-2\,\Rightarrow\,a\sqrt{2}-a=2\,\Rightarrow\,a(\sqrt{2}-1)=2\,\Rightarrow\,a=\frac{2}{\sqrt{2}-1}[/tex3]

resp e

[BrunoCFS]

alguém consegue resolver essa questão de outra forma? pois não entendi essa explicação: (Olhando a figura, o lado do quadrado tem a medida igual à diagonal menos 2 vezes o valor de EP) , não entendi como ele chegou a essa conclusão apenas "olhando" a figura

[Deleted User 24758]

beirut.png (17.42 KiB) Exibido 5266 vezes

BrunoCFS,

Em um triângulo retângulo isóceles, um dos catetos vezes raiz de dois é igual a hipotenusa.

[tex3]\sqrt{2}\left(1+\frac{a}{2}\right)=a[/tex3]

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[tex3]\sqrt{2}\left(1+\frac{a}{2}\right)=a[/tex3]

[tex3]\frac{2+a}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{2+a}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}[/tex3]

[tex3]a\sqrt{2}-a=2[/tex3]

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[tex3]a\sqrt{2}-a=2[/tex3]

[tex3]a(\sqrt{2}-1)=2[/tex3]

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[tex3]a(\sqrt{2}-1)=2[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{\boxed{a=\frac{2}{\sqrt{2}-1}}}}[/tex3]

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[tex3]\boxed{\boxed{\boxed{a=\frac{2}{\sqrt{2}-1}}}}[/tex3]

[BrunoCFS]

mas onde seria esse a/2 que você colocou , o valor correto não seria [tex3]\frac{a\sqrt{2}}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{a\sqrt{2}}{2}[/tex3]

já que ele é a diagonal do quadrado EFGH ?

[Babi123]

Sei que não tem necessidade, mas vou deixar uma solução

quadrado.png (20.97 KiB) Exibido 5256 vezes

Teo. pitágoras no [tex3]\Delta EOF[/tex3]

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[tex3]\Delta EOF[/tex3]

[tex3]\(\frac{a}{2}+1\)^2+\(\frac{a}{2}+1\)^2=a^2\\
2\cdot\(\frac{a}{2}+1\)^2=a^2\\
\frac{a^2}{2}+2a+2=a^2\\
a^2+4a+4=2a^2\\
a^2-4a-4=0\implies \begin{cases}\Delta =32\\a=2+2\sqrt{2}\\\cancel{a=2-2\sqrt2} \ \ (\text{ Não convém, pois a>0})\end{cases}
[/tex3]

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[tex3]\(\frac{a}{2}+1\)^2+\(\frac{a}{2}+1\)^2=a^2\\
2\cdot\(\frac{a}{2}+1\)^2=a^2\\
\frac{a^2}{2}+2a+2=a^2\\
a^2+4a+4=2a^2\\
a^2-4a-4=0\implies \begin{cases}\Delta =32\\a=2+2\sqrt{2}\\\cancel{a=2-2\sqrt2} \ \ (\text{ Não convém, pois a>0})\end{cases}
[/tex3]

Agora, perceba que ao "desracionalizarmos":
[tex3]a=2(1+\sqrt{2})\\
a=2(1+\sqrt{2})\cdot\frac{(1-\sqrt{2})}{(1-\sqrt{2})}\\
a=\frac{2\cdot(1^2-(\sqrt{2})^2)}{1-\sqrt{2}}\\
a=\frac{2\cdot(1-2)}{1-\sqrt2}\\
a=\frac{-2}{(1-\sqrt{2})}\\
\boxed{\boxed{a=\frac{2}{\sqrt2-1}}}\implies \textbf{Alternativa E}[/tex3]

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[tex3]a=2(1+\sqrt{2})\\
a=2(1+\sqrt{2})\cdot\frac{(1-\sqrt{2})}{(1-\sqrt{2})}\\
a=\frac{2\cdot(1^2-(\sqrt{2})^2)}{1-\sqrt{2}}\\
a=\frac{2\cdot(1-2)}{1-\sqrt2}\\
a=\frac{-2}{(1-\sqrt{2})}\\
\boxed{\boxed{a=\frac{2}{\sqrt2-1}}}\implies \textbf{Alternativa E}[/tex3]

Não sei se existe esse termo "desracionalizar"....

[Babi123]

Mais outra solução...

quadrado.png (22.8 KiB) Exibido 5249 vezes

Aplicando a razão trigonométrica seno no [tex3]\Delta{EOF}[/tex3]

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[tex3]\Delta{EOF}[/tex3]

:
[tex3]\sen(45^{\circ})=\frac{1+\frac{a}{2}}{a}\\
\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\frac{2+a}{2}}{a}\\
\frac{\sqrt2}{2}=\frac{2+a}{2a}\\
\sqrt2=\frac{2+a}{a}\\
\frac{2}{a}+1=\sqrt2\\
\frac{2}{a}=\sqrt2-1\\
a\cdot(\sqrt2-1)=2\\
\boxed{\boxed{a=\frac{2}{\sqrt2-1}}}\implies\textbf{ Alternativa E}[/tex3]

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[tex3]\sen(45^{\circ})=\frac{1+\frac{a}{2}}{a}\\
\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\frac{2+a}{2}}{a}\\
\frac{\sqrt2}{2}=\frac{2+a}{2a}\\
\sqrt2=\frac{2+a}{a}\\
\frac{2}{a}+1=\sqrt2\\
\frac{2}{a}=\sqrt2-1\\
a\cdot(\sqrt2-1)=2\\
\boxed{\boxed{a=\frac{2}{\sqrt2-1}}}\implies\textbf{ Alternativa E}[/tex3]