Boa tarde, amigos!
Estou tendo muitas dificuldades na parte de Transformada de Laplace, quando é preciso determinar a função de transferência e/ou as equações parciais. Já dei uma olhada em vários vídeos no youtube e em vários tópicos aqui do fórum, mas nada que pudesse me ajudar nestes exercícios. Gostaria de saber se teria como alguém me ajudar explicando como posso resolver esta parte da lista. Muito obrigado!
1) Para as funções de transferência abaixo, determine y(t) quando x(t) = uo(t) (impulso unitário) e a equação diferencial correspondente.
A) [tex3]\frac{Y(S)}{X(S)} = \frac{4(S+8)}{(S+3)(S+6)}[/tex3]
B) [tex3]\frac{Y(S)}{X(S)} = \frac{5}{(S+3)(S+5)^3}[/tex3]
C) [tex3]\frac{Y(S)}{X(S)} = \frac{3(S+7)}{(S-9)(S²+3S+25)}[/tex3]
2) Para as equações diferenciais abaixo, determine a função de transferência e y(t) quando x(t) = 1 (degrau unitário e condições iniciais nulas).
A) y''(t) + 11y(t) + 28y(t) = x(t)
B) y'''(t) + 5y''(t) - 8y(t) - 48y(t) = 5x(t) + 10x(t)
Desde já agradeço muito!
Ensino Superior ⇒ Funções de Transferência em Transformada de Laplace
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Oliveira0707
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Jun 2017
11
16:32
Funções de Transferência em Transformada de Laplace
Editado pela última vez por Oliveira0707 em 11 Jun 2017, 16:32, em um total de 1 vez.
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Elec1996
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Jul 2017
30
01:18
Re: Funções de Transferência em Transformada de Laplace
Oi oliveira,
Eu vou tentar explicar rapidamente o como se faz essas questões.Caso tenha duvidas recomento os livros Equações diferenciais,Zill e o livro sinais e sistemas lineares,Lathi. O último livro especialmente trata tanto a parte teórica de Laplace quanto a execução em sinais e sistemas lineares.
Vamos lá:
A resposta de um dado sistema pode ser expressa pela convolução da função de transferência e a entrada do sistema.A convolução no domínio da frequência(Laplace) é dada simplesmente multiplicando a própria função de transferência pela transformada do teu sinal de entrada.
Depois disso você deve abrir a função racional que resultou usando frações parciais e fazer a transformada inversa novamente.
Vamos a primeira:
A transformada de laplace do sinal u(t) é expressa por [tex3]\frac{1}{S}[/tex3] .Logo a saída do sistema vai ser a multiplicação de [tex3]\frac{1}{S}[/tex3] por [tex3]\frac{4(S+8)}{(S+3)(S+6)}[/tex3] resultando em [tex3]\frac{4(S+8)}{(S+3)(S+6)(S)}[/tex3] .
Agora para fazer a expansão em frações parciais, usarei um método que está explicado no livro do Lathi,se não me engano é "expansão de frações parciais pelo método do resto", ou alguma coisa assim.
Vamos ver a equação [tex3]Y(S) = \frac{4(S+8)}{(S+3)(S+6)(S)}[/tex3] .O polinômio do denominador é de terceiro grau.Logo tem 3 raízes.Cada raiz se chama "polo".As raízes são 0,-3 e -6. Elas são três raízes reais e distintas(não se repetem).Apenas quando as raízes são reais e distintas a gente pode usar esse método.
A expansão parcial vai ser dada pela soma de um polinômio na forma [tex3]\frac{A}{(S+3)}+\frac{B}{(S+6)}+\frac{C}{(S)}[/tex3] , onde A,B e C são constantes que vamos ter que determinar.Para determinar o A,pegamos a função original [tex3]\frac{4(S+8)}{(S+3)(S+6)(S)}[/tex3] e "tapamos" o termo [tex3](S+3)[/tex3] e substituímos S por -3 em toda a função.O valor que sobrar será igual a A. Logo [tex3]A = \frac{4(-3+8)}{(-3+6)(-3)}[/tex3] ,que é igual a -20/9.Para determinarmos B fazemos a mesma coisa, mas agora deves tapar o termo [tex3](S+6)[/tex3] e fazemos S igual a raiz -6:
[tex3]B = \frac{4(-6+8)}{(-6+3)(-6)}[/tex3] ,resultando em B=4/9.
Analogamente, C será igual a [tex3]C=\frac{4(8)}{(3)(6)}[/tex3] ,que é 16/9.
Agora que temos os três termos decompostos,devemos realizar a transformada inversa da função. Para isso usamos uma tabela de transformadas inversas de laplace(que tu já deve conhecer).A transformada inversa de [tex3]\frac{-20/9}{(S+3)}+\frac{4/9}{(S+6)}+\frac{+16/9}{(S)}[/tex3] é [tex3](-20/9)e^{-3t} + (4/9)e^{-6t} +(16/9)u(t) [/tex3] .
Eu vou tentar explicar rapidamente o como se faz essas questões.Caso tenha duvidas recomento os livros Equações diferenciais,Zill e o livro sinais e sistemas lineares,Lathi. O último livro especialmente trata tanto a parte teórica de Laplace quanto a execução em sinais e sistemas lineares.
Vamos lá:
A resposta de um dado sistema pode ser expressa pela convolução da função de transferência e a entrada do sistema.A convolução no domínio da frequência(Laplace) é dada simplesmente multiplicando a própria função de transferência pela transformada do teu sinal de entrada.
Depois disso você deve abrir a função racional que resultou usando frações parciais e fazer a transformada inversa novamente.
Vamos a primeira:
A transformada de laplace do sinal u(t) é expressa por [tex3]\frac{1}{S}[/tex3] .Logo a saída do sistema vai ser a multiplicação de [tex3]\frac{1}{S}[/tex3] por [tex3]\frac{4(S+8)}{(S+3)(S+6)}[/tex3] resultando em [tex3]\frac{4(S+8)}{(S+3)(S+6)(S)}[/tex3] .
Agora para fazer a expansão em frações parciais, usarei um método que está explicado no livro do Lathi,se não me engano é "expansão de frações parciais pelo método do resto", ou alguma coisa assim.
Vamos ver a equação [tex3]Y(S) = \frac{4(S+8)}{(S+3)(S+6)(S)}[/tex3] .O polinômio do denominador é de terceiro grau.Logo tem 3 raízes.Cada raiz se chama "polo".As raízes são 0,-3 e -6. Elas são três raízes reais e distintas(não se repetem).Apenas quando as raízes são reais e distintas a gente pode usar esse método.
A expansão parcial vai ser dada pela soma de um polinômio na forma [tex3]\frac{A}{(S+3)}+\frac{B}{(S+6)}+\frac{C}{(S)}[/tex3] , onde A,B e C são constantes que vamos ter que determinar.Para determinar o A,pegamos a função original [tex3]\frac{4(S+8)}{(S+3)(S+6)(S)}[/tex3] e "tapamos" o termo [tex3](S+3)[/tex3] e substituímos S por -3 em toda a função.O valor que sobrar será igual a A. Logo [tex3]A = \frac{4(-3+8)}{(-3+6)(-3)}[/tex3] ,que é igual a -20/9.Para determinarmos B fazemos a mesma coisa, mas agora deves tapar o termo [tex3](S+6)[/tex3] e fazemos S igual a raiz -6:
[tex3]B = \frac{4(-6+8)}{(-6+3)(-6)}[/tex3] ,resultando em B=4/9.
Analogamente, C será igual a [tex3]C=\frac{4(8)}{(3)(6)}[/tex3] ,que é 16/9.
Agora que temos os três termos decompostos,devemos realizar a transformada inversa da função. Para isso usamos uma tabela de transformadas inversas de laplace(que tu já deve conhecer).A transformada inversa de [tex3]\frac{-20/9}{(S+3)}+\frac{4/9}{(S+6)}+\frac{+16/9}{(S)}[/tex3] é [tex3](-20/9)e^{-3t} + (4/9)e^{-6t} +(16/9)u(t) [/tex3] .
Editado pela última vez por Elec1996 em 30 Jul 2017, 01:26, em um total de 3 vezes.
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