Pré-Vestibular ⇒ (UNICAMP) Geometria Espacial: Cilindros Tópico resolvido

[bruninha]

Três canos de forma cilíndrica e de mesmo raio [tex3]r,[/tex3]

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[tex3]r,[/tex3]

disposto como indica a figura, devem ser colacados dentro de outro cano cilíndrico de raio [tex3]R,[/tex3]

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[tex3]R,[/tex3]

de modo a ficarem presos sem folga. Expresse o valor de [tex3]R[/tex3]

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[tex3]R[/tex3]

em termos de [tex3]r[/tex3]

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[tex3]r[/tex3]

para que isso seja possível.

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[mawapa]

Olá Bruninha!

O raio do círculo maior é o risco vermelho que vai do centro da figura e passa pelo centro das circunferências, então precisamos achar essa medida.
que é [tex3]r + a[/tex3]

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[tex3]r + a[/tex3]

na figura.

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Se ligarmos os centros das 3 circunferências teremos um triângulo equilátero, agora a medida [tex3]a[/tex3]

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[tex3]a[/tex3]

é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo equilátero, que vale [tex3]\frac{2h}{3}[/tex3]

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[tex3]\frac{2h}{3}[/tex3]

onde [tex3]h[/tex3]

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[tex3]h[/tex3]

é a altura do triângulo equilátero, então o raio [tex3]R[/tex3]

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[tex3]R[/tex3]

da circunferência maior será:

• [tex3]R =\frac{2.h}{3} + r[/tex3]

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  [tex3]R =\frac{2.h}{3} + r[/tex3]

agora vamos achar a altura do triângulo equilátero de lado [tex3]2r[/tex3]

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[tex3]2r[/tex3]

e substituir na nossa equação. Utilizando a fórmula [tex3]h=\frac{a.sqrt{3}}{2}[/tex3]

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[tex3]h=\frac{a.sqrt{3}}{2}[/tex3]

achamos [tex3]h=r.sqrt{3},[/tex3]

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[tex3]h=r.sqrt{3},[/tex3]

substituindo:

• [tex3]R = \frac{2.r.sqrt{3}}{3}+r[/tex3]

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  [tex3]R = \frac{2.r.sqrt{3}}{3}+r[/tex3]

  
  
  [tex3]R = \frac{r}{3}.(2.sqrt{3}+3)[/tex3]

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  [tex3]R = \frac{r}{3}.(2.sqrt{3}+3)[/tex3]

até +!

[bruninha]

Obrigado mawapa, está certinho.
Bjnhos.