Olimpíadas ⇒ Olimpíada da Polônia - Álgebra Tópico resolvido
-
Auto Excluído (ID:17906)
- Última visita: 31-12-69
Abr 2017
15
10:38
Olimpíada da Polônia - Álgebra
Prove que entre os números de forma [tex3]50^{n} + (50n + 1)^{50}[/tex3]
, onde n é um número natural, existem infinitos números compostos.
Editado pela última vez por Auto Excluído (ID:17906) em 15 Abr 2017, 10:38, em um total de 1 vez.
-
undefinied3
- Mensagens: 1483
- Registrado em: 02 Ago 2015, 13:51
- Última visita: 30-09-22
- Agradeceu: 104 vezes
- Agradeceram: 1197 vezes
Abr 2017
15
16:48
Re: Olimpíada da Polônia - Álgebra
Aplicando módulo 3:
[tex3]50^n \equiv (-1)^n[/tex3]
[tex3]50n+1 \equiv 1-n[/tex3]
Veja que para n ímpar, [tex3](-1)^n \equiv -1[/tex3] e [tex3]1-n \equiv 1-(2k+1)\equiv -2k \equiv k[/tex3] .
Ou seja, temos [tex3]-1+k^{50} \ (mod \ 3)[/tex3]
Basta tomar k de maneira que [tex3]k^{50} \equiv 1 \ (mod \ 3)[/tex3] , ou seja, k da forma [tex3]3k'+1[/tex3] , e a expressão sempre será divisível por 3, sendo um número composto.
Por exemplo, tome [tex3]k=1 \rightarrow n=3[/tex3] , teríamos:
[tex3]50^3+(151)^{50}[/tex3] , que é divisível por 3 (basta por no wolfram se quiser ser convencido melhor)
Outro exemplo, tome [tex3]k=100 \rightarrow n=201[/tex3] :
[tex3]50^{201}+(10051)^{50}[/tex3]
Também vai dar congruente a zero módulo 3.
E assim está demonstrado.
EDIT: Só pra deixar bonitinho e mais claro:
[tex3]50^{6x+3}+(50(6x+3)+1)^{50}[/tex3] é sempre divisível por 3, para todo x.
[tex3]50^n \equiv (-1)^n[/tex3]
[tex3]50n+1 \equiv 1-n[/tex3]
Veja que para n ímpar, [tex3](-1)^n \equiv -1[/tex3] e [tex3]1-n \equiv 1-(2k+1)\equiv -2k \equiv k[/tex3] .
Ou seja, temos [tex3]-1+k^{50} \ (mod \ 3)[/tex3]
Basta tomar k de maneira que [tex3]k^{50} \equiv 1 \ (mod \ 3)[/tex3] , ou seja, k da forma [tex3]3k'+1[/tex3] , e a expressão sempre será divisível por 3, sendo um número composto.
Por exemplo, tome [tex3]k=1 \rightarrow n=3[/tex3] , teríamos:
[tex3]50^3+(151)^{50}[/tex3] , que é divisível por 3 (basta por no wolfram se quiser ser convencido melhor)
Outro exemplo, tome [tex3]k=100 \rightarrow n=201[/tex3] :
[tex3]50^{201}+(10051)^{50}[/tex3]
Também vai dar congruente a zero módulo 3.
E assim está demonstrado.
EDIT: Só pra deixar bonitinho e mais claro:
[tex3]50^{6x+3}+(50(6x+3)+1)^{50}[/tex3] é sempre divisível por 3, para todo x.
Editado pela última vez por undefinied3 em 15 Abr 2017, 16:48, em um total de 3 vezes.
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
-
Auto Excluído (ID:17906)
- Última visita: 31-12-69
-
- Tópicos Semelhantes
- Respostas
- Exibições
- Última mensagem
-
- 1 Respostas
- 989 Exibições
-
Última mensagem por Cardoso1979
-
- 6 Respostas
- 1788 Exibições
-
Última mensagem por golondrina
-
- 1 Respostas
- 202 Exibições
-
Última mensagem por FelipeMartin
-
- 4 Respostas
- 1514 Exibições
-
Última mensagem por undefinied3
-
- 1 Respostas
- 1249 Exibições
-
Última mensagem por jomatlove
