Ensino Superior ⇒ Equações Diofantinas

[cicero444]

Um fazendeiro adquiriu 100 cabeças de gado ao custo total de $4000. Os preços foram: bezerros, $120 cada; cordeiros, $50 cada; leitão, $25 cada. Se o fazendeiro obteve ao menos um animal de cada tipo, quantos de cada ele comprou?

[Ivo213]

Um fazendeiro adquiriu 100 cabeças de gado ao custo total de $4000. Os preços foram: bezerros, $120 cada; cordeiros, $50 cada; leitão, $25 cada. Se o fazendeiro obteve ao menos um animal de cada tipo, quantos de cada ele comprou?

Boa noite, cicero444.

x = bezerros
y = cordeiros
z = leitões

x + y + z = 100
z = 100 - x - y .................... (I)

120x + 50y + 25z = 4000

Simplificando toda a equação supra por 5, vem:
24x + 10y + 5z = 800 ... (II)

Aplicando-se (I) em (II), fica:
24x + 10y + 5(100-x-y) = 800
24x + 10y + 500 - 5x - 5y = 800
19x + 5y = 800 - 500

19x + 5y = 300 (Equação Diofantina)

Resolvendo esta, tem-se:
5y = 300 - 19x
y = (300-19x)/5 = 300/5 + 15x/5 + 4x/5 = 60 + 3x + 4x/5

Como x e y devem ser inteiros, o quociente da fração final também deve ser inteiro.
Faremos, então, igual a m essa fração:
4x/5 = m
4x = 5m
x = 5m/4 = 4m/4 + m/4 = m + m/4

Usando o mesmo raciocínio, faremos a fração final acima igual a n:
m/4 = n
m = 4n

A seguir, retornaremos à equação de x, onde faremos m=4n:
x = 5m/4 = 5*4n/4 = 20n/4
x = 5n

y = (300 - 19x)/5 = (300 - 19*5n)/5
y = 60 - 19n

Por outro lado x e y, além de inteiros, deverão ser positivos; portanto:
x=5n → 5n > 0 → n ≥ 0
y=60-19n → 60-19n > 0 → 60 > 19n → 19n < 60 → n < 3,1... → n ≤ 3

Formação da tabela:
n ___ x=5n ___ y=60-19n ___ z=100-x-y
1 _____ 5 _______ 41 _________ 54
2 ____ 10 _______ 22 _________ 68
3 ____ 15 ________ 3 _________ 82


S1 = _5 bezerros, 41 cordeiros e 54 leitões.
S2 = 10 bezerros, 22 cordeiros e 68 leitões.
S3 = 15 bezerros, _3 cordeiros e 82 leitões.


Um abençoado 2017 para você!