Pré-Vestibular ⇒ (UNICAMP) Sistema Linear e Matrizes Tópico resolvido

[Gauss]

Considere as matrizes:

[tex3]M=\begin{pmatrix}
\sen k\theta & \cos \theta & 0 \\
-\sen \theta & \cos \theta & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

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[tex3]M=\begin{pmatrix}
\sen k\theta & \cos \theta & 0 \\
-\sen \theta & \cos \theta & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

, [tex3]\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z \\
\end{pmatrix}[/tex3]

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[tex3]\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z \\
\end{pmatrix}[/tex3]

e [tex3]\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
3 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

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[tex3]\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
3 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

A) Calcule o determinante de M e a matriz inversa de M.
B) Resolva o sistema MX=Y.

A) [tex3]\det M=\cos^2\theta -(-\sen^2\theta )\rightarrow \det M=1[/tex3]

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[tex3]\det M=\cos^2\theta -(-\sen^2\theta )\rightarrow \det M=1[/tex3]

[tex3]\det M^{-1}=\frac{1}{\det M}\rightarrow \det M^{-1}=\frac{1}{1}\rightarrow \det M^{-1}=1[/tex3]

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[tex3]\det M^{-1}=\frac{1}{\det M}\rightarrow \det M^{-1}=\frac{1}{1}\rightarrow \det M^{-1}=1[/tex3]

B)
[tex3]MX=Y\\\\\begin{pmatrix}
\cos \theta \cdot x+\sen \theta \cdot y \\
-\sen \theta \cdot x+\cos \theta \cdot y \\
z \\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
3 \\
\end{pmatrix}\\\\\begin{cases}
\cos \theta \cdot x+\sen \theta \cdot y=1 \\
-\sen \theta \cdot x+\cos \theta \cdot y=0
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]MX=Y\\\\\begin{pmatrix}
\cos \theta \cdot x+\sen \theta \cdot y \\
-\sen \theta \cdot x+\cos \theta \cdot y \\
z \\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
3 \\
\end{pmatrix}\\\\\begin{cases}
\cos \theta \cdot x+\sen \theta \cdot y=1 \\
-\sen \theta \cdot x+\cos \theta \cdot y=0
\end{cases}[/tex3]

Como resolver o sistema acima?

Resposta

---

[tex3]S=(z=3,x=\cos \theta ,y=\sen \theta )[/tex3]

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[tex3]S=(z=3,x=\cos \theta ,y=\sen \theta )[/tex3]

[undefinied3]

Creio que você se confundiu na letra A. O determinante dessa matriz [tex3]3\times 3[/tex3]

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[tex3]3\times 3[/tex3]

é equivalente ao dessa matriz: [tex3]\begin{pmatrix}
\sen (x) & \cos (x) \\
-\sen (x) & \cos (x) \\
\end{pmatrix}[/tex3]

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[tex3]\begin{pmatrix}
\sen (x) & \cos (x) \\
-\sen (x) & \cos (x) \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Que é igual a [tex3]\sen (x)\cos (x)+\sen (x)\cos (x)=2\sen (x)\cos (x)=\sen (2x)[/tex3]

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[tex3]\sen (x)\cos (x)+\sen (x)\cos (x)=2\sen (x)\cos (x)=\sen (2x)[/tex3]

Para calcular a matriz inversa, calculemos a matriz adjunta (formada pela transposta dos cofatores). Relembrando um cofator é o valor obtido da mesma maneira quando aplicamos o Teorema de Laplace.
[tex3]Cof(M)=\begin{pmatrix}
\cos (x) & \sen (x) & 0 \\
-\cos (x) & \sen (x) & 0 \\
0 & 0 & \sen (2x) \\
\end{pmatrix} \rightarrow Adj(M)=\begin{pmatrix}
\cos (x) & -\cos (x) & 0 \\
\sen (x) & \sen (x) & 0 \\
0 & 0 & \sen (2x) \\
\end{pmatrix}[/tex3]

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[tex3]Cof(M)=\begin{pmatrix}
\cos (x) & \sen (x) & 0 \\
-\cos (x) & \sen (x) & 0 \\
0 & 0 & \sen (2x) \\
\end{pmatrix} \rightarrow Adj(M)=\begin{pmatrix}
\cos (x) & -\cos (x) & 0 \\
\sen (x) & \sen (x) & 0 \\
0 & 0 & \sen (2x) \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Então [tex3]M^{-1}=\det(M^{-1})*Adj(M)=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\sen (x)} & -\frac{1}{2\sen (x)} & 0 \\
\frac{1}{2\cos (x)} & \frac{1}{2\cos (x)} & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

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[tex3]M^{-1}=\det(M^{-1})*Adj(M)=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\sen (x)} & -\frac{1}{2\sen (x)} & 0 \\
\frac{1}{2\cos (x)} & \frac{1}{2\cos (x)} & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Ignore o fato de eu ter [tex3]usado x[/tex3]

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[tex3]usado x[/tex3]

e não [tex3]\theta[/tex3]

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[tex3]\theta[/tex3]

.

Para a letra B, o resultado correto da multiplicação das matrizes seria:
[tex3]\begin{pmatrix}
x\cdot \sen (\theta) + y\cdot \cos (\theta) \\
-x\cdot \sen (\theta)+ y\cdot \cos (\theta) \\
z \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 3 \\ \end{pmatrix}[/tex3]

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[tex3]\begin{pmatrix}
x\cdot \sen (\theta) + y\cdot \cos (\theta) \\
-x\cdot \sen (\theta)+ y\cdot \cos (\theta) \\
z \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 3 \\ \end{pmatrix}[/tex3]

Lembrando que o processo de multiplicação é "linha->coluna", você pega os elementos de uma linha da primeira matriz e multiplica por cada coluna da outra.
Somando as duas primeiras equações, obtemos [tex3]2y\cdot \cos (\theta)=1 \rightarrow y=\frac{\sec(\theta)}{2}[/tex3]

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[tex3]2y\cdot \cos (\theta)=1 \rightarrow y=\frac{\sec(\theta)}{2}[/tex3]

.
Subtraindo a segunda da primeira, obtemos [tex3]2x\cdot \sen (\theta)=1 \rightarrow x=\frac{\cosec(\theta)}{2}[/tex3]

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[tex3]2x\cdot \sen (\theta)=1 \rightarrow x=\frac{\cosec(\theta)}{2}[/tex3]

Essa resposta não bateu com seu gabarito, mas o sistema que você postou de fato possui solução que bate com o gabarito, mas a multiplicação [tex3]MX[/tex3]

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[tex3]MX[/tex3]

foi feita errada. De qualquer forma vou apresentar uma solução para esse sistema.
[tex3]\begin{cases}
\cos \ \theta \cdot x+\sen \ \theta \cdot y=1 \\
-\sen \ \theta \cdot x+\cos \ \theta \cdot y=0
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
\cos \ \theta \cdot x+\sen \ \theta \cdot y=1 \\
-\sen \ \theta \cdot x+\cos \ \theta \cdot y=0
\end{cases}[/tex3]

Multiplica-se a primeira equação por [tex3]\sen \ \theta[/tex3]

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[tex3]\sen \ \theta[/tex3]

e a segunda por [tex3]\cos \ \theta[/tex3]

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[tex3]\cos \ \theta[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
\frac{\sen \ 2\theta}{2} \cdot x+\sen ^2\ \theta \cdot y=\sen \ \theta \\
-\frac{\sen \ 2\theta}{2} \cdot x+\cos ^2\ \theta \cdot y=0
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
\frac{\sen \ 2\theta}{2} \cdot x+\sen ^2\ \theta \cdot y=\sen \ \theta \\
-\frac{\sen \ 2\theta}{2} \cdot x+\cos ^2\ \theta \cdot y=0
\end{cases}[/tex3]

Soma-se as duas e obtêm-se: [tex3](\sen ^2\ \theta + \cos ^2\ \theta)y=\sen \ \theta \rightarrow y=\sen \ \theta[/tex3]

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[tex3](\sen ^2\ \theta + \cos ^2\ \theta)y=\sen \ \theta \rightarrow y=\sen \ \theta[/tex3]

Substituindo na segunda equação (antes mesmo de ser multiplicada):
[tex3]-\sen \ \theta \cdot x+\cos \ \theta \sen \ \theta=0 \rightarrow x = \cos \ \theta[/tex3]

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[tex3]-\sen \ \theta \cdot x+\cos \ \theta \sen \ \theta=0 \rightarrow x = \cos \ \theta[/tex3]