Ensino Médio ⇒ (Ed. Mauro VOL II) Geometria Plana Tópico resolvido

[DanielEsPCEx]

Uma das diagonais de um pentágono regular mede [tex3]2\ cm[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2\ cm[/tex3]

. Determine o perímetro desse pentágono.


Ajudem-me!

[paulo testoni]

Hola.

Propriedade: pela incomensurabilidade do pentágono regular (a incomensurabilidade de duas grandezas se refere ao fato de sua razão não poder ser expressa por números racionais)

tem-se que a razão entre a diagonal e o lado do pentágono = [tex3]\frac{1+\sqrt 5}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{1+\sqrt 5}{2}[/tex3]

, então:

[tex3]\frac{d}{L}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\
2*d=L*(1+\sqrt{5})\\
2*2=L*(1+\sqrt{5})\\
4=L*(1+\sqrt{5})\\
L=\frac{4}{1+\sqrt{5}[/tex3]

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[tex3]\frac{d}{L}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\
2*d=L*(1+\sqrt{5})\\
2*2=L*(1+\sqrt{5})\\
4=L*(1+\sqrt{5})\\
L=\frac{4}{1+\sqrt{5}[/tex3]

Racionalisando, vc encontra:
[tex3]L = \frac{4*(1-\sqrt{5}}{1^1-5^2}\\
L = \frac{4*(1-\sqrt{5}}{-4}\\
L=-1*(1-\sqrt{5})\\
L = -1+\sqrt{5}[/tex3]

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[tex3]L = \frac{4*(1-\sqrt{5}}{1^1-5^2}\\
L = \frac{4*(1-\sqrt{5}}{-4}\\
L=-1*(1-\sqrt{5})\\
L = -1+\sqrt{5}[/tex3]

Perímetro= [tex3]5*(-1+\sqrt{5})[/tex3]

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[tex3]5*(-1+\sqrt{5})[/tex3]

Perímetro=[tex3](-5+5*sqrt{5})cm[/tex3]

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[tex3](-5+5*sqrt{5})cm[/tex3]

Ou:

Usando o Teorema de Ptolomeu https://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Ptolomeu é imediato.

[tex3]d*d=d*L + L*L\\
2*2=2L + L^2\\
L^2+2l -4 = 0[/tex3]

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[tex3]d*d=d*L + L*L\\
2*2=2L + L^2\\
L^2+2l -4 = 0[/tex3]

Por Baskara, temos:
[tex3]L'=\frac{-2+\sqrt{20}}{2}\\
e\\
L''= \frac{-2-\sqrt{20}}{2}[/tex3]

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[tex3]L'=\frac{-2+\sqrt{20}}{2}\\
e\\
L''= \frac{-2-\sqrt{20}}{2}[/tex3]

\\

Ficamos com a primeira raiz, pois o perímetro não pode ser negativo, então:

[tex3]L'=\frac{-2+\sqrt{20}}{2}\\
L'=\frac{-2+\sqrt{4*5}}{2}\\
L'=\frac{-2+2\sqrt{5}}{2}\\
L'=-1+\sqrt{5}[/tex3]

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[tex3]L'=\frac{-2+\sqrt{20}}{2}\\
L'=\frac{-2+\sqrt{4*5}}{2}\\
L'=\frac{-2+2\sqrt{5}}{2}\\
L'=-1+\sqrt{5}[/tex3]

Perímetro= [tex3]5*(-1+\sqrt{5})[/tex3]

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[tex3]5*(-1+\sqrt{5})[/tex3]

perimetro=[tex3](-5+5*sqrt{5})cm[/tex3]

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[tex3](-5+5*sqrt{5})cm[/tex3]

A soma do ângulos internos de um pentágono é 540º, então 1 ângulo mede: 540:5 = 108º.
E, finalmente, temos:

pentagono.gif (5.5 KiB) Exibido 540 vezes

Usando a Lei dos Cossenos, vc encontra:
[tex3]d^2 = L^2 + L^2-2*L*L*cos108\\
2^2=2L^2-2*L^2(-0,30)\\
4=2L^2+0,60L^2\\
4=2,60L^2\\
L^2=\frac{4}{2,60}\\
L^2=1,53\\
L=sqrt{1,53}\\
L=1,23[/tex3]

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[tex3]d^2 = L^2 + L^2-2*L*L*cos108\\
2^2=2L^2-2*L^2(-0,30)\\
4=2L^2+0,60L^2\\
4=2,60L^2\\
L^2=\frac{4}{2,60}\\
L^2=1,53\\
L=sqrt{1,53}\\
L=1,23[/tex3]

Perímetro= [tex3]5*1,23cm[/tex3]

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[tex3]5*1,23cm[/tex3]

Perímetro=[tex3]6,15cm\/aproximadamente[/tex3]

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[tex3]6,15cm\/aproximadamente[/tex3]