Determine os vetores unitários u = (x,y,z)b tais que a projeção ortogonal de u sobre k seja k/2 e a medida angular entre v = (x, y, 0)b e i seja pi/6 radianos.
OBS: Todas coordenadas referem-se a uma base ortonormal fixada B = (i, j, k).
Ensino Superior ⇒ Projeção ortogonal Tópico resolvido
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Cardoso1979
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Set 2022
02
13:47
Re: Projeção ortogonal
Observe
Uma solução:
Queremos encontrar um vetor [tex3]\vec{u}[/tex3] = ( x , y , z ) que respeite algumas condições. A primeira é que a projeção ortogonal de [tex3]\vec{u}[/tex3] sobre [tex3]\vec{k}[/tex3] seja [tex3]\frac{\vec{k}}{2}[/tex3] . Para isso, lembremos da seguinte fórmula:
[tex3]Proj_{\vec{v}}\vec{u} = \frac{\vec{u}.\vec{v}}{|| \vec{v} ||^2}.\vec{v}[/tex3]
Assim,
[tex3]Proj_{\vec{k}}\vec{u} = \frac{( x , y , z ).( 0 , 0 , 1 )}{ 1^2}.\vec{k} = z.\vec{k} = \frac{1}{2}.\vec{k}[/tex3]
Logo,
z = 1/2.
A segunda condição é que a medida angular entre [tex3]\vec{v}[/tex3] = ( x , y , z )[tex3]_{b}[/tex3] e [tex3]\vec{i}[/tex3] seja π/6 radianos. Sabemos que o ângulo entre dois vetores é dado por:
[tex3]cos(\theta ) = \frac{\vec{v}.\vec{i}}{|| \vec{v}|| . || \vec{i} ||}[/tex3]
Assim,
[tex3]cos\left(\frac{π}{6}\right) = \frac{( x , y , 0 ).( 1 , 0 , 0 )}{\sqrt{x^2 + y^2}.1}[/tex3]
( √3 )/2 = x/√( x² + y² )
3/4 = x²/( x² + y² ) ( I )
Do enunciado podemos usar que [tex3]\vec{u}[/tex3] deve ser unitário , então
√( x² + y² + z² ) = 1
x² + y² + ( 1/2 )^2 = 1
x² + y² = 3/4
Substituindo esse valor na equação ( I ) , resulta;
x = ± 3/4
Desta forma,
x² + y² = 3/4
( 3/4 )^2 + y² = 3/4
y = ± ( √3 )/4.
Portanto, obtemos assim quatro possíveis respostas:
[tex3]\vec{u} = \left( - \frac{3}{4} , - \frac{\sqrt{3}}{4} , \frac{1}{2}\right)[/tex3] , [tex3]\vec{u} = \left( - \frac{3}{4} , \frac{\sqrt{3}}{4} , \frac{1}{2}\right)[/tex3] , [tex3]\vec{u} = \left( \frac{3}{4} , - \frac{\sqrt{3}}{4} , \frac{1}{2}\right)[/tex3] e [tex3]\vec{u} = \left( \frac{3}{4} , \frac{\sqrt{3}}{4} , \frac{1}{2}\right)[/tex3] .
Excelente estudo!
Uma solução:
Queremos encontrar um vetor [tex3]\vec{u}[/tex3] = ( x , y , z ) que respeite algumas condições. A primeira é que a projeção ortogonal de [tex3]\vec{u}[/tex3] sobre [tex3]\vec{k}[/tex3] seja [tex3]\frac{\vec{k}}{2}[/tex3] . Para isso, lembremos da seguinte fórmula:
[tex3]Proj_{\vec{v}}\vec{u} = \frac{\vec{u}.\vec{v}}{|| \vec{v} ||^2}.\vec{v}[/tex3]
Assim,
[tex3]Proj_{\vec{k}}\vec{u} = \frac{( x , y , z ).( 0 , 0 , 1 )}{ 1^2}.\vec{k} = z.\vec{k} = \frac{1}{2}.\vec{k}[/tex3]
Logo,
z = 1/2.
A segunda condição é que a medida angular entre [tex3]\vec{v}[/tex3] = ( x , y , z )[tex3]_{b}[/tex3] e [tex3]\vec{i}[/tex3] seja π/6 radianos. Sabemos que o ângulo entre dois vetores é dado por:
[tex3]cos(\theta ) = \frac{\vec{v}.\vec{i}}{|| \vec{v}|| . || \vec{i} ||}[/tex3]
Assim,
[tex3]cos\left(\frac{π}{6}\right) = \frac{( x , y , 0 ).( 1 , 0 , 0 )}{\sqrt{x^2 + y^2}.1}[/tex3]
( √3 )/2 = x/√( x² + y² )
3/4 = x²/( x² + y² ) ( I )
Do enunciado podemos usar que [tex3]\vec{u}[/tex3] deve ser unitário , então
√( x² + y² + z² ) = 1
x² + y² + ( 1/2 )^2 = 1
x² + y² = 3/4
Substituindo esse valor na equação ( I ) , resulta;
x = ± 3/4
Desta forma,
x² + y² = 3/4
( 3/4 )^2 + y² = 3/4
y = ± ( √3 )/4.
Portanto, obtemos assim quatro possíveis respostas:
[tex3]\vec{u} = \left( - \frac{3}{4} , - \frac{\sqrt{3}}{4} , \frac{1}{2}\right)[/tex3] , [tex3]\vec{u} = \left( - \frac{3}{4} , \frac{\sqrt{3}}{4} , \frac{1}{2}\right)[/tex3] , [tex3]\vec{u} = \left( \frac{3}{4} , - \frac{\sqrt{3}}{4} , \frac{1}{2}\right)[/tex3] e [tex3]\vec{u} = \left( \frac{3}{4} , \frac{\sqrt{3}}{4} , \frac{1}{2}\right)[/tex3] .
Excelente estudo!
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