Ensino Médio ⇒ Lei dos cossenos

[mariaduarte]

num triângulo ABC ,sendo B um ângulo agudo, a=1+v3, b=2 e c= 30º, calcular c, A e B

R:c=v2 B=45°

[candre]

temos o triangulo

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[tex3]\triangle ABC[/tex3]

sabemos que:

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[tex3]\angle A=\hat{A}=?\\
\angle B=\hat{B}=?\\
\angle C=\hat{C}=30^\circ\\
\overline{BC}=a=1+\sqrt{3}\\
\overline{AC}=b=2\\
\overline{AB}=c=?[/tex3]

pela lei dos cossenos

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[tex3]\left(\overline{AB}\right)^2=\left(\overline{AC}\right)^2+\left(\overline{BC}\right)^2-2\overline{AC}\cdot\overline{BC}\cdot\cos\hat{C}\\
~~~~~~~c^2=b^2+a^2-2ba\cos(30^\circ)\\
~~~~~~~~~~=2^2+(1+\sqrt{3})^2-2\cdot\cancel2(1+\sqrt{3})\cdot\frac{\sqrt{3}}{\cancel2}\\
~~~~~~~~~~=4+1+2\sqrt{3}+3-(2+2\sqrt{3})\sqrt{3}\\
~~~~~~~~~~=8+\bcancel{2\sqrt{3}}-\bcancel{2\sqrt{3}}-6\\
~~~~~~~~~~=2\\
~~~~~~~~~c=\sqrt{2}\vee \xcancel{c=-\sqrt{2}}\text{ nao convem pois c representa uma medida}[/tex3]

novamente pela lei dos cossenos

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[tex3]\left(\overline{AC}\right)^2=\left(\overline{AB}\right)^2+\left(\overline{BC}\right)^2-2\overline{AB}\cdot\overline{BC}\cdot\cos\hat{B}\\
~~~~~~~b^2=c^2+a^2-2ca\cos\hat{B}\\
~~\cos\hat{B}=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}=\frac{\left(\sqrt{2}\right)^2+(1+\sqrt{3})^2-2^2}{2\sqrt{2}(1+\sqrt{3})}\\
~~~~~~~~~~=\frac{2+1+2\sqrt{3}+3-4}{2\sqrt{2}(1+\sqrt{3})}\\
~~~~~~~~~~=\frac{2+\bcancel{1}+2\sqrt{3}+\bcancel{3}-\bcancel{4}}{2\sqrt{2}(1+\sqrt{3})}\\
~~~~~~~~~~=\frac{\cancel{2(1+\sqrt{3})}}{\cancel2\sqrt{2}\cancel{(1+\sqrt{3})}}\\
~~~~~~~~~~=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]

sendo que dentro do intervalo

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[tex3](0,180^\circ)[/tex3]

obtemos como solução

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[tex3]\hat{B}=45^\circ[/tex3]

para encontrar

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[tex3]\hat{A}[/tex3]

podemos aplicar a lei dos cossenos novamente

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[tex3]\left(\overline{BC}\right)^2=\left(\overline{AB}\right)^2+\left(\overline{AC}\right)^2-2\overline{AB}\cdot\overline{AC}\cdot\cos\hat{A}\\
~~~~~~~a^2=c^2+b^2-2cb\cos\hat{A}\\
~~~\cos\hat{A}=\frac{c^2+b^2-a^2}{2cb}=\frac{\left(\sqrt{2}\right)^2+2^2-(1+\sqrt{3})^2}{2\sqrt{2}\cdot2}\\
~~~~~~~~~~=\frac{2+\bcancel{4}-\bcancel1-2\sqrt{3}-\bcancel3}{4\sqrt{2}}\\
~~~~~~~~~~=\frac{\cancel2(1-\sqrt{3})}{\cancelto{2}{4}\sqrt{2}}\\
~~~~~~~~~~=\frac{1-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\\
~~~~~~~~\hat{A}=~\arccos\frac{1-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=105^\circ[/tex3]

ou usar o fato que a soma dos ângulos interno em um triangulo é

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[tex3]180^\circ[/tex3]

e então obter:

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[tex3]\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180^\circ\iff \hat{A}=180^\circ-(\hat{B}+\hat{C})=105^\circ[/tex3]

[mariaduarte]

obrigada, ótima explicação