Um terreno com 100 m² de área tem a forma de um trapézio isósceles, cuja diagonal
mede [tex3]10\sqrt{3}[/tex3]
. Os lados não paralelos formam com a base angulos de 45º.
Determine os lados do terreno.
Pré-Vestibular ⇒ (UFOP - 2001) Geometria Plana Tópico resolvido
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jose carlos de almeida
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(UFOP - 2001) Geometria Plana
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JOSE CARLOS
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Mar 2015
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13:17
Re: (UFOP - 2001) Geometria Plana
Considere a figura:
Veja que [tex3]\overline{BH}=\frac{\overline{AB}-\overline{DC}}{2}=\frac{B-b}{2}[/tex3]
Como o [tex3]\Delta BHC[/tex3] é retângulo isósceles temos que [tex3]\overline {CH}=\overline{BH}[/tex3]
[tex3]h=\frac{B-b}{2}[/tex3] .
Também veja que:
[tex3]\overline{AH}=\overline{AB}-\overline{BH}=B-\frac{B-b}{2}=\frac{B+b}{2}[/tex3]
Aplicando o Teorema de Pitágoras no [tex3]\Delta AHC[/tex3] :
[tex3]\left(\overline{AC}\right)^2=\left(\overline{AH}\right)^2+\left(\overline{CH}\right)^2[/tex3]
[tex3]\left(10\sqrt3\right)^2=\left(\frac{B+b}{2}\right)^2+\left(\frac{B-b}{2}\right)^2[/tex3]
[tex3]300=\frac{B^2+2Bb+b^2}{4}+\frac{B^2-2Bb+b^2}{4}[/tex3]
[tex3]1200=2B^2+2b^2[/tex3]
[tex3]B^2+b^2=600[/tex3] (I)
Por outro lado, a área do trapézio é dada por:
[tex3]A=\left(\frac{B+b}{2}\right)\cdot h[/tex3]
[tex3]100=\left(\frac{B+b}{2}\right)\cdot \left(\frac{B-b}{2}\right)\cdot[/tex3]
[tex3]B^2-b^2=400[/tex3] (II)
Temos o sistema constituído por I e II:
[tex3]\begin{cases}
B^2+b^2=600 \\
B^2-b^2=400
\end{cases}[/tex3]
Somando membro a membro as duas equações: [tex3]2B^2=1000[/tex3]
[tex3]B^2=500[/tex3]
[tex3]B=10 \sqrt 5 \ m[/tex3]
[tex3]b^2=600-B^2[/tex3]
[tex3]b^2=600-500[/tex3]
[tex3]b = 10 \ m[/tex3]
Então: [tex3]\frac{B-b}{2}=\frac{10\sqrt 5-10}{2}=(5\sqrt5 -5) =5 \cdot (\sqrt5-1)\ m[/tex3]
No [tex3]\Delta BHC[/tex3] :
[tex3]\cos 45^0=\frac{\frac{B-b}{2}}{\ell}[/tex3]
[tex3]\ell=\frac{B-b}{2 \cdot \cos 45^o}=\frac{5 \cdot (\sqrt5-1)}{\frac{\sqrt2}{2}}=5 \cdot (\sqrt{10}-\sqrt2) \ m[/tex3]
Espero ter ajudado!
- Trapézio isósceles_2.jpg (10.11 KiB) Exibido 1249 vezes
Como o [tex3]\Delta BHC[/tex3] é retângulo isósceles temos que [tex3]\overline {CH}=\overline{BH}[/tex3]
[tex3]h=\frac{B-b}{2}[/tex3] .
Também veja que:
[tex3]\overline{AH}=\overline{AB}-\overline{BH}=B-\frac{B-b}{2}=\frac{B+b}{2}[/tex3]
Aplicando o Teorema de Pitágoras no [tex3]\Delta AHC[/tex3] :
[tex3]\left(\overline{AC}\right)^2=\left(\overline{AH}\right)^2+\left(\overline{CH}\right)^2[/tex3]
[tex3]\left(10\sqrt3\right)^2=\left(\frac{B+b}{2}\right)^2+\left(\frac{B-b}{2}\right)^2[/tex3]
[tex3]300=\frac{B^2+2Bb+b^2}{4}+\frac{B^2-2Bb+b^2}{4}[/tex3]
[tex3]1200=2B^2+2b^2[/tex3]
[tex3]B^2+b^2=600[/tex3] (I)
Por outro lado, a área do trapézio é dada por:
[tex3]A=\left(\frac{B+b}{2}\right)\cdot h[/tex3]
[tex3]100=\left(\frac{B+b}{2}\right)\cdot \left(\frac{B-b}{2}\right)\cdot[/tex3]
[tex3]B^2-b^2=400[/tex3] (II)
Temos o sistema constituído por I e II:
[tex3]\begin{cases}
B^2+b^2=600 \\
B^2-b^2=400
\end{cases}[/tex3]
Somando membro a membro as duas equações: [tex3]2B^2=1000[/tex3]
[tex3]B^2=500[/tex3]
[tex3]B=10 \sqrt 5 \ m[/tex3]
[tex3]b^2=600-B^2[/tex3]
[tex3]b^2=600-500[/tex3]
[tex3]b = 10 \ m[/tex3]
Então: [tex3]\frac{B-b}{2}=\frac{10\sqrt 5-10}{2}=(5\sqrt5 -5) =5 \cdot (\sqrt5-1)\ m[/tex3]
No [tex3]\Delta BHC[/tex3] :
[tex3]\cos 45^0=\frac{\frac{B-b}{2}}{\ell}[/tex3]
[tex3]\ell=\frac{B-b}{2 \cdot \cos 45^o}=\frac{5 \cdot (\sqrt5-1)}{\frac{\sqrt2}{2}}=5 \cdot (\sqrt{10}-\sqrt2) \ m[/tex3]
Espero ter ajudado!
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Razão: tex --> tex3
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So many problems, so little time!
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