Ensino Superior

Mensagem não lidapor **Luigi** » 03 Fev 2015, 20:23 · Mensagem não lida por **Luigi** » 03 Fev 2015, 20:23

3) Encontrar o cumprimento de arco da curva dada:

a) [tex3]y=5x-2, -2 \leq x \leq2[/tex3]

b) [tex3]y= \frac{1}{3}(2+x^2)^{\frac{3}{2}, 0\leq x \leq3[/tex3]

c) [tex3]y= 1+6x^{\frac{3}{2}}, 0\leq x \leq1[/tex3]

Respostas:
a) [tex3]4\sqrt{26}u.c[/tex3]

b)[tex3]12 u.c[/tex3]

c) [tex3]\frac{2}{243}(82\sqrt{82-1)[/tex3]

Mensagem não lidapor **Vinisth** » 03 Fev 2015, 20:29 · Mensagem não lida por **Vinisth** » 03 Fev 2015, 20:29

O fórum tem uma regra que você deve postar uma questão por tópico.

Comprimento de arco você usa essa formula em geral,

$S= \int_a^b \sqrt{1+[f'(x)]^2} dx$
Por exemplo,

a) $S= \int_{-2}^{2} \sqrt{1+5^2} dx = 4\sqrt{26}$

Abraço !

Mensagem não lidapor **LucasPinafi** » 03 Fev 2015, 20:46

Olá
O comprimento de uma curva é dada pela fórmula:
$C=\int_a^b \sqrt{1+ (\frac{dy}{dx})^2}$ , onde $y=f(x)$ é uma função com derivada contínua em $[a,b]$ .
a) Como se trata de uma reta, não é necessário aplicar o conhecimento de Cálculo integral; Mas mesmo assim, temos:
$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}[5x-2]=5$
$C=\int_{-2}^2 \sqrt{1+25}dx=2\sqrt{26}\int^2_0dx=2\sqrt{26}(2-0)=4 \sqrt{26}$
b) $\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}[ \frac{1}{3}(2+x^2)^{\frac{3}{2}}]=x\sqrt{2+x^2}$
$C=\int_0^3\sqrt{1+(x\sqrt{2+x^2})^2}dx=\int^3_0 \sqrt{1+x^2(2+x^2)}=\int_0^3 \sqrt{x^4+2x^2+1}dx$
$C=\int_0^3\sqrt{(x^2+1)^2}dx=\int^3_0(x^2+1)dx=[\frac{x^3}{3}+x]^3_0=9+3=12$

c) $\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}[1+6x^{\frac{3}{2}}]=9x^{\frac{1}{2}}$
$C=\int^1_0 \sqrt{1+(9x^{\frac{1}{2}})^2}dx=\int^1_0 \sqrt{1+81x}dx$
Fazendo $1+81x=u , x=1 u=82, x=0 , u=1 , dx=\frac{du}{81}$
$\frac{1}{81}\int^{82}_1\sqrt{u}=\frac{1}{81}[ \frac{2}{3}\sqrt{u^3}]^{82}_1 =\frac{2}{243}[82\sqrt{82}-1]$

Mensagem não lidapor **Luigi** » 03 Fev 2015, 21:47 · Mensagem não lida por **Luigi** » 03 Fev 2015, 21:47

Muito obrigado, Vinisth e LucasPinafi!

Ok, Vinisth, vou prestar mais atenção. Pensei que os itens a),b),c) de uma questão não contavam como uma questão.

Ensino Superior ⇒ Cálculo - Cumprimento de arco. Tópico resolvido

Cálculo - Cumprimento de arco.

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