Ensino Médio

Mensagem não lidapor **poisedom** » 06 Jan 2015, 01:24 · Mensagem não lida por **poisedom** » 06 Jan 2015, 01:24

A representação decimal de [tex3]\displaystyle \frac{m}{n}[/tex3] , onde [tex3]m[/tex3] e [tex3]n[/tex3] são inteiros positivos primos entre si e [tex3]m<n[/tex3] , contén os algarísmos [tex3]2[/tex3] ,[tex3]5[/tex3] e [tex3]1[/tex3] consecutivamente e nessa ordem. O menor valor de [tex3]n[/tex3] para o qual isso é possível é:
[tex3](A)121[/tex3]
[tex3](B)123[/tex3]
[tex3](C)125[/tex3]
[tex3](D)127[/tex3]
[tex3](E)129[/tex3]

Mensagem não lidapor **Vinisth** » 06 Jan 2015, 13:44 · Mensagem não lida por **Vinisth** » 06 Jan 2015, 13:44

Olá poisedom,

Sendo,
$m<n, \ \gcd(m,n)=1 \ \implies 0\leq \frac{m}{n}<1 \implies \frac{m}{n}=0,251\cdots\\ \implies \frac{251}{1000}\leq\frac{m}{n}<\frac{252}{1000} \iff \boxed{n \leq 250(4m-n)<2n} \ \implies \ 125<n$
Como $4m-n>0 \implies 4m>n$ , para o valor minimo $4m-n=1 \implies 4m=n+1$
$p/ n=126 \implies 4m=126+1=127 \rightarrow$ $m$ não é inteiro
$p/ n=127 \implies 4m=127+1=128 \implies m=32$
$\threfore \frac{32}{127}=0,25196 \cdots$

Letra D
Abraço !

Mensagem não lidapor **poisedom** » 10 Jan 2015, 15:27 · Mensagem não lida por **poisedom** » 10 Jan 2015, 15:27

obrigado, mas tenho uma dúvida. O número não poderia ser do tipo 0,...251...? A pergunta do problema me faz ter essa dúvida.

Mensagem não lidapor **Vinisth** » 10 Jan 2015, 16:25 · Mensagem não lida por **Vinisth** » 10 Jan 2015, 16:25

Sim, mas o problema se reduz em encontrar $\frac{a}{b}=0,251$ , e $mdc(a,b)=1$ .

$\frac{m}{n}=0.K251 \cdots$ , onde K são os números da representação decimal até 251, logo
$10^K\frac{m}{n}-X=0,251\cdots \implies 10^Km-nX$ é inteiro e ainda $n>10^Km-nX$ .
Escreva, $\frac{10^Km-nX}{n}=\frac{a}{b}$ , e $mdc(10^Km-nX,n)=1, \ \ n>10^Km-nX$
De fato, esta última propriedade do mdc é trivial.

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