Olimpíadas ⇒ Somatório Tópico resolvido

[poisedom]

seja [tex3]S = \displaystyle \sum_{n=1}^{1997}\frac{1}{2^{n!}}[/tex3]

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[tex3]S = \displaystyle \sum_{n=1}^{1997}\frac{1}{2^{n!}}[/tex3]

e suponha que a expansão decimal de S seja dada por [tex3]S=0,d_1d_2d_3...[/tex3]

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[tex3]S=0,d_1d_2d_3...[/tex3]

, onde [tex3]d_j[/tex3]

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[tex3]d_j[/tex3]

representa um algarismo. O valor da soma [tex3]d_{20}+d_{21}+d_{22}+d_{23}+d_{24}[/tex3]

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[tex3]d_{20}+d_{21}+d_{22}+d_{23}+d_{24}[/tex3]

é igual a:

[Vinisth]

Olá poisedom,

[tex3]S = \displaystyle \sum_{n=1}^{1997}\frac{1}{2^{n!}}<\displaystyle \sum_{n=1}^{1997}\frac{1}{2^{n}}=1[/tex3]

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[tex3]S = \displaystyle \sum_{n=1}^{1997}\frac{1}{2^{n!}}<\displaystyle \sum_{n=1}^{1997}\frac{1}{2^{n}}=1[/tex3]

[tex3]10^{24}S=d_1d_2d_3... d_{24},d_{25}d_{26}\cdots[/tex3]

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[tex3]10^{24}S=d_1d_2d_3... d_{24},d_{25}d_{26}\cdots[/tex3]

Para [tex3]n \geq 5[/tex3]

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[tex3]n \geq 5[/tex3]

[tex3]10^{24}\displaystyle \sum_{n=5}^{1997}\frac{1}{2^{n!}} \leq \frac{10^{24}}{2^{5!}}\displaystyle \sum_{n=5}^{1997}\frac{1}{2^{n-5}}< \frac{10^{24}}{2^{120}} \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}=\frac{10^{24}}{2^{119}}<\frac{10^{24}}{(10^{\frac{3}{10}})^{119}}<1[/tex3]

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[tex3]10^{24}\displaystyle \sum_{n=5}^{1997}\frac{1}{2^{n!}} \leq \frac{10^{24}}{2^{5!}}\displaystyle \sum_{n=5}^{1997}\frac{1}{2^{n-5}}< \frac{10^{24}}{2^{120}} \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}=\frac{10^{24}}{2^{119}}<\frac{10^{24}}{(10^{\frac{3}{10}})^{119}}<1[/tex3]

Para [tex3]n=4 \implies \frac{10^{24}}{2^{4!}}=5^{24}=16503\underline{90625}[/tex3]

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[tex3]n=4 \implies \frac{10^{24}}{2^{4!}}=5^{24}=16503\underline{90625}[/tex3]

, os 5 últimos digitos deste número represeta os 5 últimos de [tex3]\left \lfloor \ 10^{24}S \right \rfloor[/tex3]

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[tex3]\left \lfloor \ 10^{24}S \right \rfloor[/tex3]

, logo
[tex3]d_{20}=9, d_{21}=0, d_{22}=6 ,\ etc \cdots[/tex3]

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[tex3]d_{20}=9, d_{21}=0, d_{22}=6 ,\ etc \cdots[/tex3]

[tex3]n=9+0+6+2+5=22[/tex3]

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[tex3]n=9+0+6+2+5=22[/tex3]

Abraço !