Considere a projeção ortogonal da figura dada:
- cone inscrito.jpg (12.27 KiB) Exibido 4178 vezes
Note que [tex3]\Delta ABE[/tex3]
e [tex3]\Delta EFG[/tex3]
são semelhantes. Então podemos escrever:
[tex3]\frac{\overline{AB}}{\overline{EN}}=\frac{\overline{FG}}{\overline{EO}}[/tex3]
[tex3]\frac{\ell}{2\ell}=\frac{\overline{FG}}{\ell}[/tex3]
[tex3]\overline {FG}=\frac{\ell}{2}[/tex3]
O volume do tronco de cone ABFG será a diferença entre o volume do cone ABF e do cone EFG.
O cone ABF tem raio da base [tex3]\frac{\ell}{2}[/tex3]
e altura [tex3]2 \cdot \ell[/tex3]
.
O cone EFG tem raio da base [tex3]\frac{\ell}{4}[/tex3]
e altura [tex3]\ell[/tex3]
.
[tex3]V_{ABF}=\frac{1}{3} \cdot \pi \cdot \left(\frac{\ell}{2}\right)^2\cdot 2\ell=\frac{\pi \ell^3}{6}[/tex3]
[tex3]V_{EFG}=\frac{1}{3} \cdot \pi \cdot \left(\frac{\ell}{4}\right)^2\cdot \ell=\frac{\pi \ell^3}{48}[/tex3]
[tex3]V_{ABFG}=V_{ABF}-V_{EFG}[/tex3]
[tex3]V_{ABFG}=\frac{\pi \ell^3}{6}-\frac{\pi \ell^3}{48}=\frac{7\pi \ell^3}{48}[/tex3]
Chamando de [tex3]V_{material}[/tex3]
o volume desejado, ele será dado pela diferença entre o volume do cubo e o volume do tronco de cone:
[tex3]V_{material}=V_{cubo}-V_{ABFG}[/tex3]
[tex3]V_{material}=\ell^3-\frac{7\pi \ell^3}{48}=\ell^3\cdot \left(1-\frac{7\pi \ell^3}{48}\right)[/tex3]
Espero ter ajudado!