Pré-Vestibular(PUC-PR) Geometria Espacial Tópico resolvido

Poste aqui problemas de Vestibulares. Informe a fonte, o ano e o assunto. Exemplo: (FUVEST - 2008) Logaritmos.

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Autor do Tópico
Megaparsec
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Set 2014 15 14:14

(PUC-PR) Geometria Espacial

Mensagem não lida por Megaparsec »

Necessita-se confeccionar uma peça metálica dotada de um furo tronco-cônico, a partir de um cubo de lado “l”, conforme a figura.
a.png
a.png (12.2 KiB) Exibido 4196 vezes
O volume de material para confeccionar a peça é:

A) [tex3]l^{3}\left(1\frac{-7\pi }{48}\right)[/tex3]
B) [tex3]\frac{7\pi l^{3}}{48}[/tex3]
C) [tex3]\frac{7\pi l^{3}}{16}[/tex3]
D) [tex3]\frac{\pi l^{3}}{16}[/tex3]
D) [tex3]l^{3}\left(1\frac{-\pi }{48}\right)[/tex3]
Resposta

Não tenho a resposta

Última edição: caju (Seg 16 Out, 2017 21:49). Total de 2 vezes.
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ttbr96
4 - Sabe Tudo
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Set 2014 16 08:42

Re: (PUC-PR) Geometria Espacial

Mensagem não lida por ttbr96 »

raio maior do cone (R) = 2l
raio menor do cone (r) = ?

altura do cone maior (h>): 2l
altura do cone menor (h<) = l

por semelhança de cone:
[tex3]\frac{r}{R} = \frac{h<}{h>} \\\\\\
\frac{r}{\frac{l}2} = \frac{l}{2l} \\\\\\
r = \frac{l}4[/tex3]

volume do cone maior: [tex3]\frac{\(\frac{l}2\)^2 \cdot \pi \cdot 2l}3 = \frac{l^3 \cdot \pi}6[/tex3]

volume do cone menor: [tex3]\frac{\(\frac{l}4\)^2 \cdot \pi \cdot l}3 = \frac{l^3 \cdot \pi}{48}[/tex3]

volume do tronco de cone: [tex3]\frac{l^3 \cdot \pi}6 - \frac{l^3 \cdot \pi}{48} = \frac{7 \cdot l^3 \cdot \pi}{48}[/tex3]


a minha interpretação para o questionamento que o problema enuncia seria [tex3]l^3[/tex3] , pois pede o volume de material para confeccionar a peça (o cubo). Mas, as alternativas propõe outra coisa, ou seja, o volume da peça já confeccionada (com o furo tronco-cônico).

sendo assim: [tex3]V = l^3 - \frac{7 \cdot l^3 \cdot \pi}{48} = l^3 \left ( 1 - \frac{7 \cdot \pi}{48} \right )[/tex3]

Última edição: caju (Seg 16 Out, 2017 21:49). Total de 2 vezes.
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VALDECIRTOZZI
5 - Mestre
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Set 2014 16 09:15

Re: (PUC-PR) Geometria Espacial

Mensagem não lida por VALDECIRTOZZI »

Considere a projeção ortogonal da figura dada:
cone inscrito.jpg
cone inscrito.jpg (12.27 KiB) Exibido 4178 vezes
Note que [tex3]\Delta ABE[/tex3] e [tex3]\Delta EFG[/tex3] são semelhantes. Então podemos escrever:
[tex3]\frac{\overline{AB}}{\overline{EN}}=\frac{\overline{FG}}{\overline{EO}}[/tex3]
[tex3]\frac{\ell}{2\ell}=\frac{\overline{FG}}{\ell}[/tex3]
[tex3]\overline {FG}=\frac{\ell}{2}[/tex3]

O volume do tronco de cone ABFG será a diferença entre o volume do cone ABF e do cone EFG.
O cone ABF tem raio da base [tex3]\frac{\ell}{2}[/tex3] e altura [tex3]2 \cdot \ell[/tex3] .
O cone EFG tem raio da base [tex3]\frac{\ell}{4}[/tex3] e altura [tex3]\ell[/tex3] .

[tex3]V_{ABF}=\frac{1}{3} \cdot \pi \cdot \left(\frac{\ell}{2}\right)^2\cdot 2\ell=\frac{\pi \ell^3}{6}[/tex3]
[tex3]V_{EFG}=\frac{1}{3} \cdot \pi \cdot \left(\frac{\ell}{4}\right)^2\cdot \ell=\frac{\pi \ell^3}{48}[/tex3]

[tex3]V_{ABFG}=V_{ABF}-V_{EFG}[/tex3]
[tex3]V_{ABFG}=\frac{\pi \ell^3}{6}-\frac{\pi \ell^3}{48}=\frac{7\pi \ell^3}{48}[/tex3]

Chamando de [tex3]V_{material}[/tex3] o volume desejado, ele será dado pela diferença entre o volume do cubo e o volume do tronco de cone:

[tex3]V_{material}=V_{cubo}-V_{ABFG}[/tex3]
[tex3]V_{material}=\ell^3-\frac{7\pi \ell^3}{48}=\ell^3\cdot \left(1-\frac{7\pi \ell^3}{48}\right)[/tex3]

Espero ter ajudado!

Última edição: caju (Seg 16 Out, 2017 21:52). Total de 2 vezes.
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So many problems, so little time!

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