Ensino Superior ⇒ Derivada Direcional Tópico resolvido

[ANNA2013MARY]

Preciso de ajuda nesta questão!

Suponha que [tex3]z=f(x,y)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z=f(x,y)[/tex3]

seja diferenciável no ponto (4,8), com [tex3]f_x(4,8)=3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f_x(4,8)=3[/tex3]

e [tex3]f_y(4,8)=-1. [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f_y(4,8)=-1. [/tex3]

Sabendo que x=[tex3]t^{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]t^{2}[/tex3]

e y=[tex3]t^{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]t^{3}[/tex3]

, calcule o valor de [tex3]\frac{dz}{dt}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{dz}{dt}[/tex3]

, para t=2.

[Cardoso1979]

Observe

Solução:

Temos t = 2 , x( t ) = x( 2 ) = 2² = 4 , y( t ) = y( 2 ) = 2³ = 8 , [tex3]\frac{dx}{dt}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{dx}{dt}[/tex3]

= 2t → x'( t ) = 2t → x'( 2 ) = 4 e dy/dt = 3t² → y'( t ) = 3t² → y'( 2 ) = 12. Então, pela regra da cadeia, temos que

dz/dt = ( ∂f/∂x ).( dx/dt ) + ( ∂f/∂y ).( dy/dt)

dz/dt = fx( 4 , 8 ).x'( 2 ) + fy( 4 , 8 ).y'( 2 )

dz/dt = 3.4 + ( - 1 ).12 = 12 - 12 = 0.

Portanto , dz/dt = 0.


Excelente estudo!