Alguém poderia me ajudar nesta situação problema, por favor?
Retirei ele do livro: Cálculo - Função de uma e varias variáveis, e nele não tem a resolução dos problemas, ou somente as respostas..
Um reservatório de água tem base quadrada e formato de prisma reto com tampa. Seu volume é 10 m³ e o custo do material utilizado na construção é de $100,00 por m². Quais as dimensões do reservatório que minimizem o custo do material utilizado na construção?
Att, Mirela.
Ensino Superior ⇒ Problema de máximos e minimos Tópico resolvido
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Cardoso1979
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Ago 2022
23
22:48
Re: Problema de máximos e minimos
Observe
Eba!!!!!!!!!!!!!!! Mais uma questão com a FONTE
Uma solução:.
A área do reservatório em forma de um prisma reto de base quadrada com tampa é dada por
Ap = A [tex3]_{base}[/tex3] + 4A [tex3]_{lateral}[/tex3] + A [tex3]_{tampa}[/tex3] .
Sendo l e h a base e a altura do prisma , respectivamente , a função custo f( h , l ) será dada pelas áreas de cada parte do prisma multiplicadas pelo preço do material. Temos
f( h , l ) = 100l² + 100.4.l.h + 100l²
f( h , l ) = 200l² + 400lh
Porém, temos a informação do volume do reservatório em forma de um prisma reto de base quadrada, V = 10m³.
V = l².h = 10
h = 10/l².
Para deixar a função apenas dependendo de l, vamos substituir h na fórmula do custo.
Logo, a função custo ficará assim:
f( l ) = 200l² + 400l.( 10/l² )
f( l ) = 200l² + ( 4000/l ).
Para encontrar a dimensão l que minimiza o custo, vamos buscar o mínimo global da função f( l ). E a gente faz isso derivando e igualando a zero (0).
f'( l ) = 400l - ( 4000/l² )
- ( 4000/l² ) + 400l = 0
400l³ = 4000
l³ = 10
l = [tex3]\sqrt[3]{10}[/tex3] m
Agora substituímos o valor de l que encontramos para achar o valor de h correspondente , vem;
h = 10/[tex3]\sqrt[3]{10^2}[/tex3]
h = 10¹ [tex3]^{ - \frac{2}{3}}[/tex3]
h = 10 [tex3]^{\frac{1}{3}}[/tex3]
h = [tex3]\sqrt[3]{10}[/tex3] m
Portanto , as dimensões do reservatório que minimizam o custo do material utilizado na construção são: lado da base → l = [tex3]\sqrt[3]{10}[/tex3] m e altura → h = [tex3]\sqrt[3]{10}[/tex3] m.
Excelente estudo!
Eba!!!!!!!!!!!!!!! Mais uma questão com a FONTE
Uma solução:.
A área do reservatório em forma de um prisma reto de base quadrada com tampa é dada por
Ap = A [tex3]_{base}[/tex3] + 4A [tex3]_{lateral}[/tex3] + A [tex3]_{tampa}[/tex3] .
Sendo l e h a base e a altura do prisma , respectivamente , a função custo f( h , l ) será dada pelas áreas de cada parte do prisma multiplicadas pelo preço do material. Temos
f( h , l ) = 100l² + 100.4.l.h + 100l²
f( h , l ) = 200l² + 400lh
Porém, temos a informação do volume do reservatório em forma de um prisma reto de base quadrada, V = 10m³.
V = l².h = 10
h = 10/l².
Para deixar a função apenas dependendo de l, vamos substituir h na fórmula do custo.
Logo, a função custo ficará assim:
f( l ) = 200l² + 400l.( 10/l² )
f( l ) = 200l² + ( 4000/l ).
Para encontrar a dimensão l que minimiza o custo, vamos buscar o mínimo global da função f( l ). E a gente faz isso derivando e igualando a zero (0).
f'( l ) = 400l - ( 4000/l² )
- ( 4000/l² ) + 400l = 0
400l³ = 4000
l³ = 10
l = [tex3]\sqrt[3]{10}[/tex3] m
Agora substituímos o valor de l que encontramos para achar o valor de h correspondente , vem;
h = 10/[tex3]\sqrt[3]{10^2}[/tex3]
h = 10¹ [tex3]^{ - \frac{2}{3}}[/tex3]
h = 10 [tex3]^{\frac{1}{3}}[/tex3]
h = [tex3]\sqrt[3]{10}[/tex3] m
Portanto , as dimensões do reservatório que minimizam o custo do material utilizado na construção são: lado da base → l = [tex3]\sqrt[3]{10}[/tex3] m e altura → h = [tex3]\sqrt[3]{10}[/tex3] m.
Excelente estudo!
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