Ensino Superior ⇒ Função Contínua Tópico resolvido

[ANNA2013MARY]

Preciso de ajuda não estou conseguindo resolver!
Considere a função f(x,y)=I [tex3]\frac{5xy+6y^{2}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{5xy+6y^{2}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}}[/tex3]

, se (x,y) [tex3]\neq[/tex3]

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[tex3]\neq[/tex3]

(2,1)
L, se (x,y)=(2,1).Determine o valor de L, de modo que a função seja contínua no ponto A(2,1)

[Cardoso1979]

Observe

Solução:

A função f é contínua em ( x , y ) = ( 2 , 1 ) se , e somente se, [tex3]\lim_{(x , y)\rightarrow \ (2,1)}f(x,y)=f(2,1)=L.[/tex3]

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[tex3]\lim_{(x , y)\rightarrow \ (2,1)}f(x,y)=f(2,1)=L.[/tex3]

Então,

[tex3]\lim_{(x , y)\rightarrow \ (2,1)}f(x,y)= \lim_{(x , y)\rightarrow \ (2,1)}\frac{5xy+6y^2+y^2}{x^2+y^2}=[/tex3]

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[tex3]\lim_{(x , y)\rightarrow \ (2,1)}f(x,y)= \lim_{(x , y)\rightarrow \ (2,1)}\frac{5xy+6y^2+y^2}{x^2+y^2}=[/tex3]

[tex3]\lim_{(x , y)\rightarrow \ (2,1)}\frac{5xy+6y^2+y^2}{x^2+y^2}=
\frac{5.2.1+6.1^2+1^2}{2^2+1^2}=\frac{10+6+1}{4+1}[/tex3]

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[tex3]\lim_{(x , y)\rightarrow \ (2,1)}\frac{5xy+6y^2+y^2}{x^2+y^2}=
\frac{5.2.1+6.1^2+1^2}{2^2+1^2}=\frac{10+6+1}{4+1}[/tex3]

Logo,

[tex3]\lim_{(x , y)\rightarrow \ (2,1)}\frac{5xy+6y^2+y^2}{x^2+y^2}=
\frac{17}{5}[/tex3]

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[tex3]\lim_{(x , y)\rightarrow \ (2,1)}\frac{5xy+6y^2+y^2}{x^2+y^2}=
\frac{17}{5}[/tex3]

Assim,

[tex3]\lim_{(x , y)\rightarrow \ (2,1)}f(x,y)=f(2,1)
⇒ \frac{17}{5} = L ⇔ L=\frac{17}{5}[/tex3]

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[tex3]\lim_{(x , y)\rightarrow \ (2,1)}f(x,y)=f(2,1)
⇒ \frac{17}{5} = L ⇔ L=\frac{17}{5}[/tex3]

Portanto, o valor de L para que a função dada seja contínua no ponto A( 2 , 1 ) vale 17/5.



Bons estudos!