IME / ITA ⇒ (EFOMM - 2003) Polinômios

[PréIteano]

Sendo r1, r2 e r3 as raízes da equação [tex3]2x^{3} - 4x^{2} + 3x^{} + 1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2x^{3} - 4x^{2} + 3x^{} + 1[/tex3]

= 0, calcule [tex3]\frac{1}{r_{1}^{2}} + \frac{1}{r_{2}^{2}} + \frac{1}{r_{3}^{2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{r_{1}^{2}} + \frac{1}{r_{2}^{2}} + \frac{1}{r_{3}^{2}}[/tex3]

a) [tex3]\frac{3}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{3}{2}[/tex3]

b) 2
c) [tex3]\frac{17}{4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{17}{4}[/tex3]

d) 17
e) [tex3]\frac{-1}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{-1}{2}[/tex3]

Tentei por Teorema de Newton, porém a resposta saiu [tex3]\frac{-23}{4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{-23}{4}[/tex3]

(posso ter errado o cálculo).

[PedroCunha]

Não é necessário usar as somas de Newton nesse caso: a fatoração resolve.

Código: Selecionar tudo

[tex3]\frac{1}{r_1^2} + \frac{1}{r_2^2} + \frac{1}{r_3^2} = \frac{r_1^2r_2^2 + r_2^2r_3^2 + r_1^2r_3^2}{(r_1r_2r_3)^2} \therefore \frac{(r_1r_2)^2 + (r_2r_3)^2 + (r_1r_3)^2}{(-\frac{1}{2})^2}[/tex3]

Aqui, lembre-se da seguinte fatoração:

Código: Selecionar tudo

[tex3]a^2+b^2+c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab+ac+bc)[/tex3]

. Temos:

Código: Selecionar tudo

[tex3]\small{(r_1r_2)^2 + (r_2r_3)^2 + (r_1r_3)^2 = (r_1r_2 + r_2r_3 + r_1r_3)^2 - 2\cdot (r_1r_2^2r_3 + r_1^2r_2r_3 + r_1r_2r_3^2)} \therefore \\\\ (r_1r_2+r_2r_3+r_1r_3)^2 - 2 \cdot [r_1r_2r_3] \cdot (r_1+r_2+r_3) \therefore \frac{3}{2} - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot 2 \therefore \frac{9}{4} +2 \therefore \frac{17}{4} \\\\[/tex3]

Substituindo:

Código: Selecionar tudo

[tex3]\frac{\frac{17}{4}}{\frac{1}{4}} \therefore 17[/tex3]

Att.,
Pedro

[PréIteano]

Excelente PedroCunha, obrigado!
Poderia me mostrar como ficaria através das somas de Newton? Acho que sai mais fácil.

[PedroCunha]

Soma de Newton não é bom nesse caso. Pelo menos não diretamente, pois não existe soma de Newton para os quadrados. Você pode fatorar e depois aplicar a soma de Newton, que no fim é a mesma coisa que as relações de Girard.