Ensino Médio

Mensagem não lidapor **Matheusoros** » 21 Mai 2014, 08:26

Determine a soma das raízes da equação a seguir em [0, 2π]:
2*(sen x)^2 - sen(2x) + 2*cos(2x) = 0

A) 7π/2
B) 9π/2
C)11π/2
D) 13π/2
E) 0

Mensagem não lidapor **PedroCunha** » 21 Mai 2014, 10:24 · Mensagem não lida por **PedroCunha** » 21 Mai 2014, 10:24

$2\sin^2x - \sin (2x) + 2\cos (2x) = 0 \therefore 2 \sin ^2x - \sin(2x) + \cos(2x) + \cos(2x) = 0 \therefore \\\\ 2\sin^2x - \sin(2x) + 2\cos^2x - 1 + \cos(2x) = 0 \therefore -\sin(2x) + \cos(2x) + 1 = 0 \therefore \\ \\ \sin(2x) - \cos(2x) = 1$

Só ocorre para $\sin (2x) = \frac{1}{2}, \cos(2x) = -\frac{1}{2}$ ou $\sin(2x) = 1, \cos(2x) = 0$ ou $\sin(2x) = 0, \cos(2x) = -1$ . O primeiro caso não tem solução. O segundo, ocorre para:

$x = \frac{\pi}{4}, x = \frac{5\pi}{4}$ .

e o terceiro ocorre para

$x = \frac{\pi}{2}, x = \frac{3\pi}{2}$

Logo, a soma é: $\frac{6\pi}{4} + \frac{4\pi}{2} \therefore \frac{3\pi}{2} +2\pi \therefore \frac{7\pi}{2}$

Att.,
Pedro

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