Ensino Médio

Se o número [tex3]x = 2^{n+4} - 2^{n}[/tex3] , natural, possui exatamente 60 divisores positivos, então n é igual a:

a-14
b-13
c-12
d-10

Não tenho o gabarito.

Obrigado pela atenção.

Mensagem não lidapor **Marcos** » Qui 24 Abr, 2014 21:08 · Mensagem não lida por **Marcos** » Qui 24 Abr, 2014 21:08

Olá Ittalo25.Observe a solução:

$\Rightarrow$ $x = 2^{n+4} - 2^{n}$
$\Rightarrow$ $x = 2^n.2^{4} - 2^{n}$
$\Rightarrow$ $x = 2^n.16 - 2^{n}$
$\Rightarrow$ $x = 2^n.16 - 2^{n}.1$
$\Rightarrow$ $x = 2^n.15$
$\Rightarrow$ $x = 2^n.3.5$ $\rightarrow$ $60$ divisores positivos
$\Rightarrow$ $(n+1).(1+1).(1+1)=60$
$\Rightarrow$ $(n+1).(2).(2)=2^23.5$ $\rightarrow \boxed{\boxed{n=14}}$ [tex3]\Longrightarrow[/tex3] $Letra: (A)$

Resposta: $A$

$x=2^{n+4}-2^n$
$x=2^n\cdot2^4-2^n\cdot1$
$x=2^n(2^4-1)$
$x=2^n(16-1)$
$x=15\cdot2^n$
$x=3^1\cdot5^1\cdot2^n$

Repare que $x$ está na forma de um produto de fatores primos. Daí, temos que o número de divisores de $x$ será igual ao produto dos expoentes somados de um, ou seja,

$n(D(x))=(1+1)(1+1)(n+1)=60$

Assim,

$(1+1)(1+1)(n+1)=60$
$4(n+1)=60$
$n+1=15$
$n=14$

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