IME / ITA(Colégio Naval - 2006) Equação do Segundo Grau Tópico resolvido

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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(Colégio Naval - 2006) Equação do Segundo Grau

Mensagem não lidapor paulo testoni » Dom 31 Dez, 2006 02:02

O produto de dois números reais x e y é igual a 150. Assim sendo, x + y não pode ser igual a:

a) 31,71
b) 28,27
c) 25,15
d) 24,35
e) -26,94

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  Tópico resolvido

Mensagem não lidapor Thales Gheós » Dom 31 Dez, 2006 11:34

x.y=150
x+y=s

das duas equações sai:

y^2-ys+150=0 em que \Delta=s^2-600

para que y seja Real impõe-se que \Delta\geq{0}

s^2\geq{600} \Rightarrow |s|\geq{24,49} o que exclui a alternativa d

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Mensagem não lidapor paulo testoni » Dom 31 Dez, 2006 20:33

Hola Thales.

Se exclui a alternativa d, qual seria a sua resposta?
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Mensagem não lidapor Thales Gheós » Ter 02 Jan, 2007 14:20

Caro Paulo Testoni,

o exercício pedia que fosse encontrada uma alternativa que NÃO servisse como solução. Foi o que fiz. A questão, colocada como está, tem infinitos pares (x,y) que satisfazem o sistema. Creio que não há o que escolher entre as alternativas, já que todas elas satisfazem o sistema:

y=\frac{s\pm\sqrt{s^2-600}}{2}

\text para s=31,71 \Rightarrow y=25,93 e x=5,78\Rightarrow  x.y=150

\text para s=28,27\Rightarrow y=21,19 e x=7,08\Rightarrow x.y=150

\text para s=25,15\Rightarrow y=15,43 e x=9,73\Rightarrow x.y=150

\text para s=-26,94\Rightarrow y=-19,075 e x=-7,865 \Rightarrow x.y=150

abraço,

bom Ano Novo!
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Mensagem não lidapor paulo testoni » Qui 04 Jan, 2007 02:55

Hola Thales.

veja a solução de Burns123:

xy = 150

Se eu elevar um número ao quadrado ele sempre será \geq 0.

Como queremos saber quanto x+y não pode ser, temos que fazer isso aparecer de alguma forma.

Então:

(\sqrt{x} +\sqrt{y})^2>0 (temos um quadrado perfeito)

x +2\cdot\sqrt{ x}\cdot \sqrt{y} + y > 0
x + y > -2\cdot\sqrt{ x}\cdot \sqrt{y}
x + y > -2 \sqrt {x\cdot y}
x + y > -2\sqrt{150}
x + y > -2\cdot 10\cdot \sqrt{6} (\sqrt{6}\approx 2,44)
x + y > -20\cdot 2,44
x + y > -24,4

Se x + y > -24,4, então x + y não pode ser {-}26,94

Resposta: alternativa e
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Mensagem não lidapor Thales Gheós » Qui 04 Jan, 2007 12:23

Alô Paulo,

mas o que me diz do fato de:

(-19,075).(-7,865)=150 o arredondamento das casas decimais não é exato.

sendo (-19,075)+(-7,865)=-26,94 ?
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Mensagem não lidapor Fernando Jaeger » Qui 04 Jan, 2007 13:04

Caro Paulo Testoni, acredito que a solução correta desse exercício é, de fato, a do amigo Thales. Veja essa passagem retirada da solução que voce apresentou:

(\sqrt x + sqrt y)^2 > 0 (temos um quadrado perfeito)

Ao fazer essa passagem, voce admitiu que x e y são, ambos, não negativos, já que estão sendo extraídas suas raízes, o que invalida a solução, pois o enunciado da questao nao faz restrições aos valores de x e y, no conjunto dos reais.

Espero que tudo tenha ficado esclarecido.

Abraço

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