Pré-Vestibular(CEFET-MG-Adaptada) Funções

Poste aqui problemas de Vestibulares. Informe a fonte, o ano e o assunto. Exemplo: (FUVEST - 2008) Logaritmos.

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mvasantos
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(CEFET-MG-Adaptada) Funções

Mensagem não lidapor mvasantos » Sáb 16 Mar, 2013 01:24

Considerando-se f a função real definida por:

f(x) = \begin{cases} (\sqrt{2} - x)(\sqrt{2} + x),se \ x\leq 1; \\ 2-x, se \ 1<x<3 \\3, se \ x\geq 3  \end{cases}
o valor de A = \sqrt{f\left(-\frac{1}{2}\right) - f\left(\frac{7}{2}\right) . f\left(\frac{3}{2}\right)} é:
a)\frac{1}{2}

b)\frac{1}{3}


c)\frac{1}{4}

d)\frac{1}{5}

e)\frac{1}{6}

Faça passo-a-passo, por favor. Valeu !

Editado pela última vez por mvasantos em Sáb 16 Mar, 2013 01:24, em um total de 2 vezes.

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PedroCunha
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Re: (CEFET-MG-Adaptada) Funções

Mensagem não lidapor PedroCunha » Sáb 16 Mar, 2013 02:23

Primeiro verificamos os números para saber qual função usar:

Como (-\frac{1}{2} \therefore -0,5) \leq 1, f(- \frac{1}{2}) = (\sqrt2 - x) (\sqrt2 + x).

Como (\frac{7}{2} \therefore 3,5) \geq 3, f(\frac{7}{2}) = 3.

Como 1 < (\frac{3}{2} \therefore 1,5) < 3, f(\frac{3}{2}) = 2 - x.

Após fazermos isso, basta substituirmos os valores:

\\A = \sqrt{f(-\frac{1}{2}) - f(\frac{7}{2}) \cdot f(\frac{3}{2})} \\A = \sqrt{((\sqrt2 - (-\frac{1}{2}) \cdot (\sqrt2 + (-\frac{1}{2})) - (3 \cdot (2 - \frac{3}{2})} \therefore \sqrt{((\sqrt2 + \frac{1}{2}) \cdot (\sqrt2 - \frac{1}{2})) - (3 \cdot ( \frac{1}{2}))} \\A = \sqrt{((\sqrt2)^2 - (\frac{1}{2})^2) - \frac{3}{2}} \therefore \sqrt{(2 - \frac{1}{4}) - \frac{3}{2}} \therefore \sqrt{\frac{7}{4} - \frac{3}{2}} \therefore \sqrt {\frac{1}{4}} \therefore \boxed {A = \frac{1}{2}}

Att.,
Pedro

Obs.: Perceba que na segunda linha utilizei um produto notável ((\sqrt2 + \frac{1}{2}) \cdot (\sqrt2 - \frac{1}{2}) = (\sqrt2)^2 - (\frac{1}{2})^2, ou generalizando (a + b) \cdot (a - b) = a^2 - b^2

Editado pela última vez por PedroCunha em Sáb 16 Mar, 2013 02:23, em um total de 1 vez.
"Por céus e mares eu andei, vi um poeta e vi um rei, na esperança de saber o que é o amor..."


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