Ensino Médio

Mensagem não lidapor **poti** » 09 Mar 2012, 09:00 · Mensagem não lida por **poti** » 09 Mar 2012, 09:00

Ache todos os números complexos $z$ tais que $(3z + 1)(4z + 1)(6z + 1)(12z + 1) = 2$ .

Mensagem não lidapor **BobDog** » 09 Mar 2012, 10:50 · Mensagem não lida por **BobDog** » 09 Mar 2012, 10:50

Olá poti

Veja:

6 [tex3]\cdot[/tex3] 4 = (5 + 1)(5 - 1) = 5² - 1²
5 [tex3]\cdot[/tex3] 7 = (6 - 1)(6 + 1) = 6² - 1²

(3z + 1)(4z + 1)(6z + 1)(12z + 1) = 2

(Multiplica o primeiro por 4)

(12z + 4)(4z + 1)(6z + 1)(12z + 1) = 2 [tex3]\cdot[/tex3] 4

(Multiplica o segundo por 3)

(12z + 4)(12z + 3)(6z + 1)(12z + 1) = 2 [tex3]\cdot[/tex3] 4 [tex3]\cdot[/tex3] 3

(Multiplica o terceiro por 2)

(12z + 4)(12z + 3)(12z + 2)(12z + 1) = 2 [tex3]\cdot[/tex3] 4 [tex3]\cdot[/tex3] 3 [tex3]\cdot[/tex3] 2

x = 12z + 1

x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 48

x(x + 3) = x² + 3x
(x + 1)(x + 2) = x² + 3x + 2

(x² + 3x)(x² + 3x + 2) = 48
(x² + 3x + 1 - 1)(x² + 3x + 1 + 1) = 48

[tex3](x^{2} + 3x + 1)^2 - 1^{2} = 48 \\
(x^{2} + 3x + 1)^2 = 49[/tex3]

[tex3]x^{2} + 3x + 1 =\pm7[/tex3]

Pra vc achar os valores de z, é só resolver e depois substituir.

Acho que é isso.

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