Pré-Vestibular ⇒ (Unicamp-SP)Polinômios Tópico resolvido

[felps]

Alguém poderia me ajudar?

Seja [tex3]a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a[/tex3]

um número real e seja: [tex3]p(x)=det (\begin{array}{ccc} 3-x & -1 & \sqrt{2} \\ 0 & a-x & -1 \\ 0 & 4 & 1-x \end{array})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]p(x)=det (\begin{array}{ccc} 3-x & -1 & \sqrt{2} \\ 0 & a-x & -1 \\ 0 & 4 & 1-x \end{array})[/tex3]

Essa eu já fiz: a) Para [tex3]a=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a=1[/tex3]

, encontre todas as raízes da equação [tex3]p(x) = 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]p(x) = 0[/tex3]

.

b) Encontre os valores de [tex3]a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a[/tex3]

para os quais a equação [tex3]p(x)=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]p(x)=0[/tex3]

tem uma única raiz real.

Resposta

---

a) [tex3]3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3[/tex3]

, [tex3]1+2i[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1+2i[/tex3]

, [tex3]1-2i[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1-2i[/tex3]

b) [tex3]-3<a<5[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]-3<a<5[/tex3]

[victoria]

Olá felps,

se você resolver esse determinante, chegará na seguinte expressão: [tex3]p(x)=(3-x)(x^{2}-x(a+1)+a+4)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]p(x)=(3-x)(x^{2}-x(a+1)+a+4)[/tex3]

Veja que, no caso de [tex3](x^{2}-x(a+1)+a+4)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x^{2}-x(a+1)+a+4)[/tex3]

:

Se [tex3]\Delta \lt 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Delta \lt 0[/tex3]

Ambas as raízes da equação são complexas, com exceção de x=3 que é real.

Se [tex3]\Delta = 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Delta = 0[/tex3]

:
[tex3]\Delta =(a+1)^{2}-4(a+4)=a^{2}-2a-15=(a+3)(a-5)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Delta =(a+1)^{2}-4(a+4)=a^{2}-2a-15=(a+3)(a-5)[/tex3]

se x for imaginário, [tex3]\Delta \lt 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Delta \lt 0[/tex3]

Assim, [tex3](a+3)(a-5)\lt 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](a+3)(a-5)\lt 0[/tex3]

Abraço.

[tex3]-3 \lt a \lt 5[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]-3 \lt a \lt 5[/tex3]